ОТО: Интеграл от вектора на гладком многообразии

[evgenykurbatov]

Дано [четырёхмерное] гладкое многообразие $M$ и касательное векторное поле на нём. На $M$ задана метрика и гладкие локальные координаты, такие что $(j^i)$ --- контравариантные координаты вектора в некоторой точке. Пусть $\Omega$ --- односвязная область на $M$.
Вопрос. Какой смысл у вот такого интеграла:

$$ J^i = \int_\Omega d\Omega\,\sqrt{|g|}\,j^i \;, $$

где $g$ --- определитель метрического тензора. Такой интеграл возникает, например, в четырёхмерной формулировке теоремы Гаусса, если $j^i$ --- вектор тока. Также вместо $j^i$ можно подставить, скажем, компоненты тензора энергии-импульса и т.д.

Моё непонимание вызвано вот чем. Запишем компонент вектора как $j^i = \mathbf{e}^i \mathbf{j}$, где $\mathbf{e}^i$ --- вектор контравариантного базиса. Если многообразие плоское и система координат глобальная, то: (а) без ограничения общности полагаем $|g| = 1$; (б) базисные векторы выносим за знак интеграла. Далее, раз теперь многообразие совпадает со своим касательным пространством, сумма вектора по $\Omega$ имеет ясный и тривиальный геометрический смысл. Физически так же, глобальный базис задаёт единую систему единиц измерения и мы можем складывать метры и метры, и т.д.

Если же многообразие "кривое", то я не понимаю, как интерпретировать этот интеграл. В каждой точке задана своя система единиц измерения, свой базис. Мы складываем метры с попугаями и получаем объект $J^i$, не привязанный к какому-либо базису, т.е. не имеющий геометрического аналога.

[Munin]

evgenykurbatov в сообщении #1299433 писал(а):

Такой интеграл возникает, например, в четырёхмерной формулировке теоремы Гаусса

Чего???

[Sicker]

evgenykurbatov
Этот интеграл смысла не имеет, т.к. интеграл от векторного поля на гладком многообразии определен только для многообразия с нулевой кривизной.

Munin в сообщении #1299444 писал(а):

Чего???

ТС имеет ввиду, что четырехмерный ток равен внешней производной от сопряжения по звездочке Ходжа по 2-форме эл-маг поля

[Munin]

Sicker в сообщении #1299446 писал(а):

ТС имеет ввиду, что четырехмерный ток равен внешней производной от сопряжения по звездочке Ходжа по 2-форме эл-маг поля

Не может он этого в виду иметь, потому что это не так пишется.

[epros]

evgenykurbatov в сообщении #1299433 писал(а):

Мы складываем метры с попугаями и получаем объект $J^i$, не привязанный к какому-либо базису, т.е. не имеющий геометрического аналога.

Поэтому интеграл в Вашей формулировке смысла не имеет. Если Вас интересуют "глобальные векторы", то для начала нужно привести подынтегральное выражение к скалярным плотностям.

[Sicker]

Munin в сообщении #1299447 писал(а):

Не может он этого в виду иметь, потому что это не так пишется.

Ну да, этот интеграл явно левый

[Erleker]

Вообще, когда подобное действительно необходимо, можно, как я понимаю, для формализации, использовать искусственный минковский фон, чтобы избавиться от индекса, заменив его на номер векторов Килинга , которые тривиальны.

[epros]

Erleker в сообщении #1299450 писал(а):

использовать искусственный минковский фон, чтобы избавиться от индекса, заменив его на номер векторов Килинга

Не обязательно. Можно взять любую четвёрку ковариантных векторных плотностей $\xi^{(0)}_i,\xi^{(1)}_i,\xi^{(2)}_i,\xi^{(3)}_i$ и интегрировать в итоге по скалярному произведению $\xi^{(k)}_i j^i$.

[Erleker]

Ну да, но просто удобнее, если они образуют символ кронекера (трансляции взять).

И, да, без фона, конечно, тоже можно.

[evgenykurbatov]

Munin в сообщении #1299447 писал(а):

Sicker в сообщении #1299446 писал(а):

ТС имеет ввиду, что четырехмерный ток равен внешней производной от сопряжения по звездочке Ходжа по 2-форме эл-маг поля

Не может он этого в виду иметь, потому что это не так пишется.

Вообще, именно это я имел в виду. Как нужно написать правильно?

-- 24.03.2018, 17:26 --

Erleker в сообщении #1299461 писал(а):

Ну да, но просто удобнее, если они образуют символ кронекера (трансляции взять).

И, да, без фона, конечно, тоже можно.

Как, объясните пож-та.

[Erleker]

evgenykurbatov
Заменить формально $j^k \to \xi^{(k)}_i j^i$ , где $\xi^{(k)}_i$ образуют единичную матрицу.

[epros]

Erleker в сообщении #1299465 писал(а):

де $\xi^{(k)}_i$ образуют единичную матрицу

Строго говоря, символ Кронекера (который записывается единичной матрицей в любых координатах) является тензором. А $\xi^{(k)}_i$ преобразуются по другим правилам. Поэтому если они и образуют единичную матрицу, то только в одной какой-то системе координат.

[Erleker]

Да, в данной.

[evgenykurbatov]

Erleker в сообщении #1299465 писал(а):

evgenykurbatov
Заменить формально $j^k \to \xi^{(k)}_i j^i$ , где $\xi^{(k)}_i$ образуют единичную матрицу.

То, что $\boldsymbol{\xi}^{(k)} \boldsymbol{e}_i = \delta_i^k$, не значит разве, что буквы $\boldsymbol{\xi}^{(k)}$, это векторы взаимного базиса, по отношению к $\boldsymbol{e}_i$? То есть $\boldsymbol{\xi}^{(k)} = \boldsymbol{e}^k$. А раз так, замена, о которой вы написали, ничего не меняет.

[Erleker]

evgenykurbatov
У вас получаются 4 интеграла по 4 скалярам (скалярным произведениям) соответственно. В чем проблема?