Дано [четырёхмерное] гладкое многообразие

и касательное векторное поле на нём. На

задана метрика и гладкие локальные координаты, такие что

--- контравариантные координаты вектора в некоторой точке. Пусть

--- односвязная область на

.
Вопрос. Какой смысл у вот такого интеграла:

где

--- определитель метрического тензора. Такой интеграл возникает, например, в четырёхмерной формулировке теоремы Гаусса, если

--- вектор тока. Также вместо

можно подставить, скажем, компоненты тензора энергии-импульса и т.д.
Моё непонимание вызвано вот чем. Запишем компонент вектора как

, где

--- вектор контравариантного базиса. Если многообразие плоское и система координат глобальная, то: (а) без ограничения общности полагаем

; (б) базисные векторы выносим за знак интеграла. Далее, раз теперь многообразие совпадает со своим касательным пространством, сумма вектора по

имеет ясный и тривиальный геометрический смысл. Физически так же, глобальный базис задаёт единую систему единиц измерения и мы можем складывать метры и метры, и т.д.
Если же многообразие "кривое", то я не понимаю, как интерпретировать этот интеграл. В каждой точке задана своя система единиц измерения, свой базис. Мы складываем метры с попугаями и получаем объект

, не привязанный к какому-либо базису, т.е. не имеющий геометрического аналога.