2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 22:31 


11/12/16
4731
grizzly

двойку потерял. :facepalm: :oops: Спать пора. Сорри, за бред.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение22.04.2017, 08:59 


24/12/13
218
arqady в сообщении #1210908 писал(а):
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:
$$\frac{a}{\sqrt[4]{8(b^4+c^4)}}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$$


Может попробуем сперва доказать

$$\frac{a}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение22.04.2017, 11:04 


11/12/16
4731
rightways

А в чем сложность?
1. Путем предложенной выше замены доказывается, что сумма второго и третьего слагаемого достигает минимума при фиксированном $r$ при $\alpha=0$ (то есть при $b=c$).
2. Первое слагаемое от $\alpha$ не зависит.
3. Значит минимум всей суммы там же: $b=c$.
4. Минимизируем ту же самую функцию, что и прошлый раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение22.04.2017, 11:27 
Заслуженный участник


26/06/07
1864
Tel-aviv
rightways в сообщении #1211522 писал(а):

Может попробуем сперва доказать

$$\frac{a}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$$

Это было в Short List румынской олимпиады в этом году.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение22.04.2017, 12:01 


30/03/08
193
St.Peterburg
arqady в сообщении #1211558 писал(а):
rightways в сообщении #1211522 писал(а):

Может попробуем сперва доказать

$$\frac{a}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$$

Это было в Short List румынской олимпиады в этом году.


$$\frac{a}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{2(a^2+b^2)}+b(a+c)+c(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$$

$$\Leftrightarrow 2a^2+\left( b+c-3\sqrt{2(b^2+c^2)}\right)a+2(b^2+c^2-bc)\ge 0$$

$$ \left (b+c-3\sqrt{2(b^2+c^2)} \right )^2 \le 16(b^2+c^2-bc)$$

$$\Leftrightarrow b^2+c^2+6bc \le 2(b+c)\sqrt{2(b^2+c^2)}$$

$$ b^2+c^2+6bc  \le 2(b+c)^2 \le 2(b+c)\sqrt{2(b^2+c^2)}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение22.04.2017, 13:42 


30/03/08
193
St.Peterburg
Аналогично проходит случай с кубами :

$$\frac{a}{\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \ge  \dfrac{3}{2}$$

$$ \left (b+c-3\sqrt[3]{4(b^3+c^3)} \right )^2 \le 16(b^2+c^2-bc)$$

$$z= \sqrt{\dfrac{b}{c}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}\ge 2\  ,\ \ f(z)= 16(z^2-3)-\left( z-3\sqrt[3]{4z(z^2-3)}\right)^2 \ge 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение24.04.2017, 12:39 


24/12/13
218
$$16(a+b+c)^5\ge 81(8a(b^4+c^4)+b(c+a)^4+c(a+b)^4)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение24.04.2017, 16:09 


24/12/13
218
мое последнее неравенство, оно верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение24.04.2017, 21:06 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
Нет, подставьте $a=1, b=1, c=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение29.04.2017, 12:20 


03/03/12
1171

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1211244 писал(а):
Условие задачи выполняется (проверил численно).

У меня при $a=1$, $bc=1$ получается многочлен от одной переменной. Он, по условию, должен быть неотрицательным во всей области определения. Так ли это? Считаю на Вольфраме. Не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение29.04.2017, 15:27 
Заслуженный участник


26/06/07
1864
Tel-aviv
TR63 Думаю, Вы где-то ошибаетесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение29.04.2017, 16:09 


03/03/12
1171
У меня получилось после преобразований неравенство
$b^2(b+1)>{8(b^8+1)}^{0.25}(1.5b(b+1)-1-b^3)$
Если правая часть положительна (это я не проверила, а зря), возводим обе части в четвёртую степень. Да, поняла. Всё сходится. Спасибо за ответ.
Исходное неравенство можно свести к виду

$2a^2+[2bc+2tb+2tc]a+t\{2b^2+2c^2-3(1-c)(1-b)\}\ge0$

$t=(8(b^4+c^4))^{0.25}$

$a+b+c=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение23.03.2018, 21:49 
Аватара пользователя


14/03/18
51
Пусть $2u=a+b, v^2=ab$, тогда неравенство эквивалентно
$\frac{a}{2\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}}+\frac{2ua+4u^2-2v^2}{a^2+2ua+v^2}\geq\frac{3}{2}$
или
$a^3-(3\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}-2u)a^2-(2u\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}-v^2)a+(8u^2-7v^2)\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}\geq0$
$f'(a)=3a^2-2(3\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}-2u)-2u\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}+v^2$

$a=\frac{3\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}-2u+\sqrt{9\sqrt{8u^4-8u^2v^2+v^4}-6u\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}+4u^2-3v^2}}{3}$

$f(\frac{3\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}-2u+\sqrt{9\sqrt{8u^4-8u^2v^2+v^4}-6u\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}+4u^2-3v^2}}{3})=2\frac{(\sqrt{9\sqrt{8u^4-8u^2v^2+v^4}-6u\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}+4u^2-3v^2})^3+27\sqrt[4]{(8u^4-8u^2v^2+v^4)^3}-27u\sqrt{8u^4-8u^2v^2+v^4}-(90u^2-81v^2)\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}-8u^3+9uv^2}{27}$
или
$-27\sqrt[4]{(8u^4-8u^2v^2+v^4)^3}+27u\sqrt{8u^4-8u^2v^2+v^4}+(90u^2-81v^2)\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}\leq(\sqrt{9\sqrt{8u^4-8u^2v^2+v^4}-6u\sqrt[4]{8u^4-8u^2v^2+v^4}+4u^2-3v^2})^3$
Избавляемся от корней
$(110u^3-90uv^2)\sqrt[4]{(8u^4-8u^2v^2+v^4)^3}+(142u^4-261u^2v^2+117v^4)\sqrt[4]{(8u^4-8u^2v^2+v^4)^2}+(64u^5-124u^3v^2+60uv^4)\sqrt{8u^4-8u^2v^2+v^4}-900u^6+1656u^4v^2-869u^2v^4+95v^6\leq0$
$x=\sqrt{8u^4-8u^2v^2+v^4}$
$g(x)=(110u^3-90uv^2)x^3+(142u^4-261u^2v^2+117v^4)x^2+(64u^5-124u^3v^2+60uv^4)x-900u^6+1656u^4v^2-869u^2v^4+95v^6\leq0$
Так как $g(x)$ выпукла, то максимум достигается при $u^2=v^2$.
P.S, если нашли ошибку в рассчётах сообщите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение24.03.2018, 15:25 
Аватара пользователя


14/03/18
51
Прошу прощения за проблемы с $LaTeX$ и за ошибку с переменными, $2u=b+c, v^2=bc$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group