2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сильнее, чем Несбит.
Сообщение19.04.2017, 23:41 
Заслуженный участник


26/06/07
1864
Tel-aviv
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:
$$\frac{a}{\sqrt[4]{8(b^4+c^4)}}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение20.04.2017, 09:58 


25/08/11

1074
А у двух других дробей нельзя заменить знаменатели на корни, чтобы неравенство стало симметричным-цикличным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение20.04.2017, 10:31 


07/11/12
122
sergei1961 в сообщении #1210949 писал(а):
А у двух других дробей нельзя заменить знаменатели на корни, чтобы неравенство стало симметричным-цикличным?

Не получится. Если подставить $a=1,b=4,c=4$ в циклически-симметричный вариант, то выходит $f(1,4,4)=1,313$. Если то же самое подставить в исходный вариант, то получается $f(1,4,4)=1,725$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 00:23 


11/08/16
193
А вы уверенны, что условие задачи выполняется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 11:55 


05/09/16
6035
sa233091
Условие задачи выполняется (проверил численно).

Мне кажется можно упростить. Сумма зависит только от соотношения переменных, а не от их абсолютных значений, т.е. можно все три переменных умножить на один и тот же множитель, сумма не изменится.
Тогда мы можем положить например $a=1$ или $c=1$ и иметь дело с двумя переменными, а не тремя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 13:17 


03/03/12
1171

(Оффтоп)

При $a\ge(b,c)$, у меня получается, что неравенство верно (свожу к неравенству с двумя переменными):
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}-a\ge0$
В этом неравенстве проблем, вроде, не возникает. Здесь $a+b+c=1$, $b=k_1a$, $c=k_2a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 13:39 


25/08/11

1074
wrest - это просто означает, что неравенство однородно. Можно перейти к двум переменным стандартными способами, например, поделить везде на $a$. Мне это не помогло, как обычно последнее время, задачи от arqady оказываются мне не по зубам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 14:39 


11/12/16
4731
сделать замену
$\frac{b}{a} = r \sin\varphi$
$\frac{c}{a} = r \cos\varphi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 20:37 


11/12/16
4731
Лучше так:
$\frac{b}{a} = r \sin(\alpha+ \frac{\pi}{4})$
$\frac{c}{a} = r \cos(\alpha + \frac{\pi}{4})$

Кстати, левая часть не больше, чем $\frac{8}{5}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
EUgeneUS в сообщении #1211405 писал(а):
Кстати, левая часть не больше, чем $\frac{8}{5}$
Левая часть не ограничена сверху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 21:24 


11/12/16
4731
grizzly

"не меньше, чем", конечно. :facepalm: Минимум: ~1,62.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 21:45 
Заслуженный участник


04/03/09
843
$a=b=c$ - это минимум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 22:08 


11/12/16
4731
12d3

Если $b=c$, то ищется минимум функции (обозначим: $z = \frac{b}{a} = \frac{c}{a}$)

$\frac{1}{2z}+\frac{2z}{1+z}$

А он не в единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6104
EUgeneUS в сообщении #1211437 писал(а):
А он не в единице.
Очень даже в единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сильнее, чем Несбит.
Сообщение21.04.2017, 22:29 


11/08/16
193
grizzly в сообщении #1211443 писал(а):
Очень даже в единице.

Согласен

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group