Сильнее, чем Несбит.

[arqady]

Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a}{\sqrt[4]{8(b^4+c^4)}}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$$

[sergei1961]

А у двух других дробей нельзя заменить знаменатели на корни, чтобы неравенство стало симметричным-цикличным?

[matidiot]

sergei1961 в сообщении #1210949 писал(а):

А у двух других дробей нельзя заменить знаменатели на корни, чтобы неравенство стало симметричным-цикличным?

Не получится. Если подставить $a=1,b=4,c=4$ в циклически-симметричный вариант, то выходит $f(1,4,4)=1,313$. Если то же самое подставить в исходный вариант, то получается $f(1,4,4)=1,725$

[sa233091]

А вы уверенны, что условие задачи выполняется?

[wrest]

sa233091
Условие задачи выполняется (проверил численно).

Мне кажется можно упростить. Сумма зависит только от соотношения переменных, а не от их абсолютных значений, т.е. можно все три переменных умножить на один и тот же множитель, сумма не изменится.
Тогда мы можем положить например $a=1$ или $c=1$ и иметь дело с двумя переменными, а не тремя.

[TR63]

(Оффтоп)

При $a\ge(b,c)$, у меня получается, что неравенство верно (свожу к неравенству с двумя переменными):
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}-a\ge0$
В этом неравенстве проблем, вроде, не возникает. Здесь $a+b+c=1$, $b=k_1a$, $c=k_2a$.

[sergei1961]

wrest - это просто означает, что неравенство однородно. Можно перейти к двум переменным стандартными способами, например, поделить везде на $a$. Мне это не помогло, как обычно последнее время, задачи от arqady оказываются мне не по зубам.

[EUgeneUS]

сделать замену
$\frac{b}{a} = r \sin\varphi$
$\frac{c}{a} = r \cos\varphi$

[EUgeneUS]

Лучше так:
$\frac{b}{a} = r \sin(\alpha+ \frac{\pi}{4})$
$\frac{c}{a} = r \cos(\alpha + \frac{\pi}{4})$

Кстати, левая часть не больше, чем $\frac{8}{5}$

[grizzly]

EUgeneUS в сообщении #1211405 писал(а):

Кстати, левая часть не больше, чем $\frac{8}{5}$

Левая часть не ограничена сверху.

[EUgeneUS]

grizzly

"не меньше, чем", конечно. Минимум: ~1,62.

[12d3]

$a=b=c$ - это минимум.

[EUgeneUS]

12d3

Если $b=c$, то ищется минимум функции (обозначим: $z = \frac{b}{a} = \frac{c}{a}$)

$\frac{1}{2z}+\frac{2z}{1+z}$

А он не в единице.

[grizzly]

EUgeneUS в сообщении #1211437 писал(а):

А он не в единице.

Очень даже в единице.

[sa233091]

grizzly в сообщении #1211443 писал(а):

Очень даже в единице.

Согласен