Определение натурального числа

[george66]

"Математика -- это искусство усложнять простые вещи"

[Sicker]

iifat в сообщении #1298949 писал(а):

Теорема: запись любого натурального числа начинается с цифры.
База индукции: для нуля — очевидно.
Шаг индукции: если $n$ начинается с цифры, то и $n+1$ начинается с цифры — очевидно.
Заключение: запись любого натурального числа начинается с цифры.
Контрпример: -1.

Верно, вы построили явный пример, истинность которого очевидна по построению. И следовательно, обычная индукция здесь не работает. Кстати, а трансфинитная бы работала, ведь множество не вполне упорядоченно? А предположим, что мы не можем проверить истинность утверждения кроме как доказав его через индукцию, и даже построить искусственный истинный пример. Как доказать что индукция работает только на множестве натуральных чисел?

-- 23.03.2018, 15:03 --

А кстати трансфинитная индукция в случае моего не вполне упорядоченного множества не работает)

-- 23.03.2018, 15:04 --

iifat в сообщении #1298983 писал(а):

Кстати говоря, а что идёт за -1? У каждого наттурального есть последователь!

Можно пустить еще один ряд натуральных чисел
И кто сказал, что моя конструкция это натуральный ряд)

[mihaild]

Sicker в сообщении #1299290 писал(а):

Кстати, а трансфинитная бы работала, ведь множество не вполне упорядоченно?

Самостоятельные попытки решения? Хотя бы сформулировать, что такое трансфинитная индукция, можете?

Sicker в сообщении #1299290 писал(а):

Как доказать что индукция работает только на множестве натуральных чисел?

Пусть $X$ - множество, на котором работает индукция. Докажите, что $X \subseteq \mathbb{N}$, применив принцип индукции к формуле $x \in \mathbb{N}$.

[Sicker]

mihaild в сообщении #1299293 писал(а):

Самостоятельные попытки решения? Хотя бы сформулировать, что такое трансфинитная индукция, можете?

Sicker в сообщении #1299290 писал(а):

А кстати трансфинитная индукция в случае моего не вполне упорядоченного множества не работает)

Там довольно просто, трансфинитная индукция там не работает также, как и обычная.
А как формально доказать, что обычная индукция работает на множестве натуральных чисел?

[mihaild]

Sicker в сообщении #1299295 писал(а):

А как формально доказать, что обычная индукция работает на множестве натуральных чисел?

А каким определением натуральных чисел вы пользуетесь?
Если стандартным в ZF (минимальное индуктивное множество) - то пусть $P(x)$ - некоторая формула, такая что $P(0)$ и $\forall x: P(x) \rightarrow P(x + 1)$. Тогда $X := \{x \in \mathbb{N} | P(x)\}$ - индуктивное множество. Т.к. $\mathbb{N}$ - минимальное индуктивное множество, то $\mathbb{N} \subseteq X$, т.е. $\forall x \in \mathbb{N}: P(x)$.

[iifat]

Sicker в сообщении #1299290 писал(а):

И кто сказал, что моя конструкция это натуральный ряд)

Sicker в сообщении #1298567 писал(а):

Тогда эти новые "отрицательные" числа являются натуральными, т.к. мы можем назвать их натуральными, потому что они удовлетворяют нашему определению, и в частности, для любого натурального числа мы можем указать предыдущее

У вас там что, раздвоение личности? Может, попросите администрацию разрешить регистрацию А-Sicker и У-Sicker?