Определение натурального числа

[Sicker]

Как определяется натуральное число?
1 - натуральное
если $n$ - натуральное, то и $n+1$ - натуральное
Но это не определение, ибо согласно ему первое кардинальное число, следующее за натуральными числами, тоже натуральное, т.к. для его достижения надо бесконечное число раз прибавить единицу. Но в определении натурального числа не сказано, сколько раз надо прибавлять единицу, ибо у нас нет определения "прибавить конечное количество раз", т.к. мы в стадии определения того самого конечного натурального числа.
Как быть?

[mihaild]

Натуральные числа - это наименьшее (по включению) индуктивное множество (т.е. содержащее $0$ и замкнутое относительно взятия последующего). Понятия "прибавить единицу сколько-то раз" для этого определения не требуется.

[Sicker]

mihaild
Как проверить, является ли некий объект элементом индуктивного множества?

[mihaild]

Sicker в сообщении #1298553 писал(а):

Как проверить, является ли некий объект элементом индуктивного множества?

А как он задан?
Для начала более простой вопрос - как проверить, является ли некий объект элементом множества $\{\varnothing\}$?
(ну и индуктивных множеств много, так что вопрос не очень хороший)

[Sicker]

mihaild в сообщении #1298558 писал(а):

А как он задан?

Каким-то кардинальным числом.

mihaild в сообщении #1298558 писал(а):

Для начала более простой вопрос - как проверить, является ли некий объект элементом множества $\{\varnothing\}$?

Если он не пустое множество, то не является.

[iifat]

Чего только люди не навыдумывают, читаючи совершенно ясное определение...

Sicker в сообщении #1298547 писал(а):

1 - натуральное
если $n$ - натуральное, то и $n+1$ - натуральное

Ну пусть так, хотя реальное определение более чем вдвое длиннее.

Sicker в сообщении #1298547 писал(а):

согласно ему первое кардинальное число, следующее за натуральными числами, тоже натуральное

Вот с хрена, стесняюсь спросить? Оно 1? Или оно получается прибавлением единицы к натуральному? К какому?
Понимаете, как только от рассуждений, как говорил один из моих преподавателей, «на уровне размахивания руками» переходишь к математике — многое становится куда яснее.

[mihaild]

Sicker в сообщении #1298560 писал(а):

Каким-то кардинальным числом.

А точнее?

Sicker в сообщении #1298560 писал(а):

Если он не пустое множество, то не является.

Как проверить, является ли объект пустым множеством?

И вообще, что такое "объект", и что значит "проверить, принадлежит ли объект множеству"?

[Sicker]

iifat в сообщении #1298564 писал(а):

Вот с хрена, стесняюсь спросить? Оно 1? Или оно получается прибавлением единицы к натуральному? К какому?

Хорошо, пусть у нас такое упорядочивание на множестве целых чисел, сначала идут натуральные, а потом, после них, отрицательные в сторону уменьшения модуля, т.е. до -1. Тогда эти новые "отрицательные" числа являются натуральными, т.к. мы можем назвать их натуральными, потому что они удовлетворяют нашему определению, и в частности, для любого натурального числа мы можем указать предыдущее.

[thething]

Sicker
Согласно аксиоматике Пеано, 1 не следует ни за каким натуральным числом, так что откуда там отрицательные?

[Sicker]

thething в сообщении #1298568 писал(а):

Согласно аксиоматике Пеано, 1 не следует ни за каким натуральным числом, так что откуда там отрицательные?

Так они после натуральных идут, поэтому я их в кавычках написал.

-- 20.03.2018, 16:35 --

thething
Можно рассмотреть такую структуру на упорядоченных множествах, при которой за рядом натуральных чисел следует второй ряд натуральных чисел, но задом наперед.

[thething]

Т.е. ряд натуральных чисел должен закончиться? Чтобы за ним что-то следовало? И, опять же, с чего тогда это что-то должно начинаться?

[mihaild]

Sicker в сообщении #1298570 писал(а):

Можно рассмотреть такую структуру на упорядоченных множествах, при которой за рядом натуральных чисел следует второй ряд натуральных чисел, но задом наперед.

Можно. Бывает много разных порядков.

В рамках ZF натуральные числа определяются как наименьшее индуктивное множество. В PA понятие "натуральное число" вообще нет. В чем вопрос-то?

[iifat]

Sicker в сообщении #1298567 писал(а):

Хорошо

Отнюдь не хорошо. И близко, я бы сказал, не хорошо.

Sicker в сообщении #1298567 писал(а):

пусть у нас такое упорядочивание на множестве целых чисел, сначала идут натуральные, а потом, после них, отрицательные в сторону уменьшения модуля, т.е. до -1

Вам бы с натуральными разобраться, а потом уж про упорядочивание руками махать.

Sicker в сообщении #1298567 писал(а):

сначала идут натуральные

Стесняюсь спросить, куда они все идут?

Sicker в сообщении #1298567 писал(а):

а потом, после них

По ком? Вот вы ж правильно (не совсем, повторюсь, ну да ладно пока) определение написали. Ну и где вдруг отрицательные-то пойдут? К какому положительному числу надо прибавить единицу, чтоб отрицательное появилось?

[george66]

Чтобы знать, какие числа натуральные, надо в каком-то смысле знать, какие вообще есть объекты. Например, есть "множества" и мы их все знаем. Тогда множество натуральных чисел -- это наименьшее множество с некоторым свойством (содержащее ноль и замкнутое относительное прибавления единицы, индуктивное). Если совокупность объектов расширяется (например, мы нашли какие-то новые множества, о которых раньше не знали), старое множество натуральных чисел может перестать быть наименьшим индуктивным. Пересечение всех индуктивных множеств уменьшилось, потому что индуктивных множеств стало больше. Это значит, что некоторые числа, которые мы раньше считали натуральными, оказались бесконечно большими, "настоящих" натуральных чисел стало меньше. Какое отношение это имеет к реальности, сказать трудно. Как учил Есенин-Вольпин: возьмём промежуток времени от чьего-то рождения до настоящего момента и будем вычитать секунду за секундой. Дойдём ли мы когда-нибудь до нуля? Кто-нибудь доходил? Какой опыт нас в этом убеждает?

[DeBill]

Sicker
Вы упорно игнорируете уже неоднократно упоминавшееся (и пропущенное в Вашем "определении") требование "наименьшести". И плодите каких то монстров... Нет, чтобы по простому : в смысле Вашего "определения", и множество целых, и множество вещественных, да и комплексных чисел - все они (у Вас) натуральные...
Кстати, часто вместо "наименьшести", говорят: "всякое натуральное получается по правилам 1) или 2)" - мне так больше нравится... Хотя студентам на матане я говорю по-современному (по Зоричу)- "наименьшее индуктивное"...