На максимум модуля

[MChagall]

$G$ - ограниченная область на комплексной плоскости. $f_1,...,f_m$ - голоморфны в $G$.
$M:=\lim\limits_{z\to \partial G}^{}\sup\limits_{}(\left\lvert f(z_1)\right\rvert+...\left\lvert f(z_m)\right\rvert)$.
Доказать, что если хотя бы одна функция $f_k$ не константа, то $\forall z\in G$ выполняется $\left\lvert f(z_1)\right\rvert+...\left\lvert f(z_m)\right\rvert < M$.

Нашёл принцип максимума модуля, что голоморфная функция достигает максимума модуля на границе области. Но там нужна непрерывность в замыкании области. А здесь её нет. Это как-то влияет или в принципе из максимума модуля всё и следует?

[thething]

MChagall в сообщении #1299089 писал(а):

Нашёл принцип максимума модуля, что голоморфная функция достигает максимума модуля на границе области. Но там нужна непрерывность в замыкании области. А здесь её нет. Это как-то влияет или в принципе из максимума модуля всё и следует?

Непрерывность в замыкании нужна только для того, чтобы сказать, что максимум модуля достигается на границе. Если непрерывности в замыкании нет, то либо $f(z)\equiv\operatorname{const}$, либо ни в какой точке $z_0\in G$ функция $\left\lvert f(z)\right\rvert$ не может принимать максимального значения.
Можно сказать, что, при отсутствии непрерывности в замыкании в любой внутренней точке или $\left\lvert f(z)\right\rvert<\sup\limits_{z\in G}\left\lvert f(z)\right\rvert$, или $f(z)\equiv \operatorname{const}$

Подправьте индексы в формулах.

[MChagall]

thething в сообщении #1299096 писал(а):

Подправьте индексы в формулах

Какие? И, вроде, уже не могу.

Так на что тогда задача? Вроде, и так понятно, что если М достигается, то на границе, и для всех внутренних точек неравенство выполняется. А если не достигается, то

thething в сообщении #1299096 писал(а):

в любой внутренней точке или $\left\lvert f(z)\right\rvert<\sup\limits_{z\in G}\left\lvert f(z)\right\rvert$

и неравенство также выполняется.

[g______d]

MChagall в сообщении #1299113 писал(а):

Так на что тогда задача?

Как минимум на то, к какой функции применить этот принцип максимума модуля. Если у меня правильное решение, то там нужно одно дополнительное действие.

[MChagall]

MChagall в сообщении #1299113 писал(а):

Какие?

Увидел. Исправить там уже не могу. Доказать надо, что $\left\lvert f_1(z)\right\rvert+...+\left\lvert f_m(z)\right\rvert < M$.
И увидел своё заблуждение. M - предел супремумов для одной какой-то функции. Правда смущает, что она (эта функция) без индекса. Простота задачи сразу улетучилась.

-- 22.03.2018, 23:12 --

Вроде, что-то родилось.
Пусть $M_k=\sup\left\lvert f_k(z)\right\rvert$. Эти $M_k$ либо не достигаются, либо достигаются на границе. То есть $\forall z\in G: \left\lvert f_k(z)\right\rvert<M_k$. Пусть $N=\max M_k$. Тогда $M=mN$. А так как $\forall z\in G: \left\lvert f_k(z)\right\rvert<N$, то $\left\lvert f_1(z)\right\rvert+...+\left\lvert f_m(z)\right\rvert < Nm=M$. Где-нибудь заблуждаюсь? Подозрительно просто...

[g______d]

MChagall в сообщении #1299131 писал(а):

Тогда $M=mN$.

Нет.

[MChagall]

g______d в сообщении #1299136 писал(а):

Нет.

А тогда чему?

[g______d]

MChagall в сообщении #1299138 писал(а):

А тогда чему?

Странный вопрос. Например, самому себе. Я вообще не знаю, равен ли он чему-то более простому. Ну вы хотя бы понимаете, где ошибка в процитированном равенстве? Собственно, неравенство $M\le mN$ очевидно (вы по сути его и доказали), но равенство совершенно не обязательно имеет место.

[MChagall]

Похоже, я не (совсем) понимаю, что такое $M$.
1) Беру последовательность из $m$ точек, для каждой точки нахожу значение $f_k(z)$. Суммирую модули этих значений, потом рассматриваю все такие последовательности и нахожу супремум этих сумм.
Или 2) Беру всевозможные последовательности точек, сходящихся к границе. Для каждой последовательности нахожу супремум $f_k(z)$. И нахожу всевозможные суммы $m$ таких супремумов. И максимальная сумма и есть $M$.
Если я ни в одном не попал, можете объяснить тогда, что такое $M$?

[g______d]

MChagall в сообщении #1299149 писал(а):

1) Беру последовательность из $m$ точек, для каждой точки нахожу значение $f_k(z)$. Суммирую модули этих значений, потом рассматриваю все такие последовательности и нахожу супремум этих сумм.

Да. Именно супремум сумм. Для отдельных функций их супремумы реализуются, вообще говоря, в разных точках границы.

[MChagall]

Но тогда для функции $f_k$ $\sup\limits_{}(\left\lvert f_k(z_1)\right\rvert+...\left\lvert f_k(z_m)\right\rvert)<m M_k$, так ведь? И что вообще за предел в определении $M$? Всё-таки для $M$ у меня нет чёткого понимания.

[g______d]

У вас с индексами путаница. Насколько я понимаю, там нет никаких $z_k$, а есть только $f_1(z),\ldots,f_m(z)$. Функции разные, а $z$ одна и та же.

Рассмотрите сначала более простую задачу: если функции $f_1,\ldots f_m$ голоморфны в $G$ и непрерывны вплоть до границы, причём хотя бы одна из них не константа, то $M=\sup_{z\in G}|f_1(z)|+\ldots+|f_m(z)|=\max_{z\in \overline{G}}|f_1(z)|+\ldots+|f_m(z)|$ достигается только на границе $\partial G$.

[MChagall]

g______d в сообщении #1299172 писал(а):

У вас с индексами путаница

В задании так написано. Возможно, опечатка.

-- 23.03.2018, 02:42 --

MChagall в сообщении #1299177 писал(а):

Рассмотрите сначала более простую задачу

Ну есть две мысли.
1) Рассмотреть функцию $g(z)=f_1(z)+...+f_m(z)$. Её супремум на границе области. И он меньше либо равен M.
Но дальше этой оценки куда - не знаю.
2) Есть предположение, что при последовательности точек, стремящейся к границе, модуль каждой функции возрастает. Верно ли это?
Вернее, что чем "ближе" к границе, тем больше модуль. Верно ли это?

[g______d]

MChagall в сообщении #1299177 писал(а):

Есть предположение, что при последовательности точек, стремящейся к границе, модуль каждой функции возрастает. Верно ли это?
Вернее, что чем "ближе" к границе, тем больше модуль. Верно ли это?

Нет. Если у функции нет нулей, то и максимум, и минимум модуля достигаются на границе (достаточно применить принцип максимума модуля к $1/f$).

Подсказка: в

MChagall в сообщении #1299177 писал(а):

Рассмотреть функцию $g(z)=f_1(z)+...+f_m(z)$. Её супремум на границе области. И он меньше либо равен M.

можно заменить $f_1(z)$ на $-f_1(z)$. Или ещё на что-нибудь. Или не $f_1(z)$, а $f_2(z)$.

[MChagall]

g______d в сообщении #1299189 писал(а):

можно заменить

Имеете ввиду, что в качестве $g(z)$ надо рассматривать линейные комбинации функций $f_k(z)$? Каждая линейная комбинация достигает модуля на границе. Модуль одной из таких комбинаций равен сумме модулей, и, соответственно M (в вашей задаче) достигается только на границе. Верно всё?

-- 23.03.2018, 09:45 --

Только что дальше? Чем отличается М исходной задачи, что там за предел?