Нотация и понимание степени с рациональным показателем

[bssgrad]

Добрый день!
Пытаясь разобраться с понятием степени, в т.ч. с рациональным показателем, пришел к следующему.
В учебнике дается следующее определение степени с рациональным показателем:
$a^{p/q}=(a^p)^{1/q}$ (не знаю, есть ли на форуме возможность записи корня с показателем, поэтому в правой части пишу в виде дроби $1/q$). Обоснование: Одно из основных свойств степени для степени с рациональным показателем, а именно равенство $(a^{p/q})^q=a^{(p/q)\cdot{q}}=a^p$ выполняется только при указанном условии (определении).
Но ведь с другой стороны, равенство $(a^{p/q})^{1/p}=a^{(p/q)\cdot{1/p}}=a^{1/q}$, выполняется только при $a^{p/q}=(a^{1/q})^p$.
Кроме того, n-я степень числа с натуральным показателем - это произведение n-го количества сомножителей, равных этому числу. И по аналогии с этим определением, степень числа с натуральным показателем $p/q$ можно было бы определить как произведение $p$-го количества сомножителей, равных степени этого числа с показателем $1/q$, т.е. как раз как $a^{p/q}=(a^{1/q})^p$.
Мой вопрос состоит в следующем: Если степень с рациональным показателем означает совершение над ее основанием последовательно операций возведения в степень с показателем, равным числителю рац.показателя, и извлечения корня с показателем, равным знаменателю рац.показателя, то в каком порядке они должны выполняться?
Конечно, ввиду установленного правила о том, что степень с рац.показателем определена только при неотрицательном основании, а также введением понятия арифметического корня, т.е. установлением взаимно-однозначного соответствия между показателем степени и ее значением, данный вопрос утрачивает значение.
Предполагаю, что наиболее точным определением степени с рациональным показателем в самом общем виде, является ее определение, как значение показательной функции?!
Подскажите, что бы почитать на эту тему?

[ewert]

bssgrad в сообщении #1298304 писал(а):

(не знаю, есть ли на форуме возможность записи корня с показателем

Есть: $\sqrt[q]{a^p}$. Правда, использовать именно эти буквы для обозначения целых чисел не вполне прилично.

bssgrad в сообщении #1298304 писал(а):

Предполагаю, что наиболее точным определением степени с рациональным показателем в самом общем виде, является ее определение, как значение показательной функции?!

В точности наоборот. Корректного определения показательной функции не выйдет до тех пор, пока формально не определён корень, а перед этим -- само понятие вещественного числа. Что тоже совсем не тривиально; и чем, впрочем, в школе обычно не заморачиваются.

bssgrad в сообщении #1298304 писал(а):

Если степень с рациональным показателем означает совершение над ее основанием последовательно операций возведения в степень с показателем, равным числителю рац.показателя, и извлечения корня с показателем, равным знаменателю рац.показателя, то в каком порядке они должны выполняться?

В любом; хотя эквивалентность порядков -- это некоторая теорема, которую опять же надо доказывать.

[bssgrad]

Спасибо. Разобрался.