Задача двух конвертов

[Sicker]

Все мы знаем задачу двух конвертов. Пусть в одном конверте лежит сумма Х, а во втором 2Х, потом их отдают двум игрокам, которые думают так, ага если в моем конверте какая-то сумма Y, то в другом равновероятностно Y/2 и 2Y, значит матожидание выигрыша 1.25Y. Так думает каждый, и получает каждому выгодно обмениваться, т.е. при обмене они увеличат свое матожидание выигрыша, а суммарная сумма будет одной и той же. Казалось бы парадокс. Но нет, ведь Х должно иметь какое-то вероятностное распределение, и иметь максимальное значение $X_\max$, чтобы вообще можно было ввести какое-то вероятностное распределение. Тогда максимальное значение во втором конверте будет $2X_\max$, т.е. конверты уже не симметричны, если мы знаем, какая сумма лежит в конверте. Для простоты пусть суммы в конвертах будут принимать значения $2^{k-1}$ и $2^{k}$, при $k=1,N$. Т.е. максимальное значение суммы в одном конверте $2^N$, а в другом $2^{N-1}$. Суть задачи от этого не меняется. Тогда игрокам при виде своей суммы в конверте должны принимать решение об обмене, и обмен может произойти только тогда, когда оба согласятся, это важно! Так вот, каждый может рассуждать так:
Ага, в моем конверте сумма $2^{k_1}$, значит в том конверте с вероятностью 1/2 суммы $2^{k_1-1}$ и $2^{k_1+1}$, т.е. выгодно меняться. Но, выгодно обменяться только при условии, что если во втором конверте сумма $2^{k_1+1}$, и тот игрок также согласится обменяться. А тот игрок согласится обменяться только в случае, если в конверте другого игрока сумма в два раза больше, и он согласится обменяться. Продолжая эту рекурсию дальше, доходим до игрока с наибольшей суммой в игре, $2^{N}$, и он ее точно обменивать не будет, т.к. она наибольшая. Дальше спускаемся вниз по логической ступеньке, если игрок с суммой $2^{N}$ не будет ее обменивать, тогда не надо обмениваться игроку с суммой $2^{N-1}$, т.к. как он не получит выгоды, и так. до игрока с суммой 1, которому уже нечего терять. Т.е. оптимальная стратегия для каждого игрока - не обмениваться никак.
Если бы обмен не зависел от воли другого игрока, а происходил бы с банком, то оптимальная стратегия была бы обменивать конверты, только если в конверте не максимальная сумма в игре $2^{N}$, тогда действительно матожидание выигрыша будет больше. Правда в случае двух игроков такая стратегия не симметрична, поэтому не работает.
Что думаете по этому вопросу?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1298227 писал(а):

Что думаете по этому вопросу?

Мы думаем, что вам стоит выучить понятие условного матожидания.

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1298236 писал(а):

Мы думаем, что вам стоит выучить понятие условного матожидания.

Выучил, дальше что?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1298237 писал(а):

Выучил, дальше что?

Очевидно, примените...

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1298239 писал(а):

Очевидно, примените...

Ну применил, и?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1298240 писал(а):

Ну применил, и?

И как же применили? Расскажите, не стыдитесь,.... (если б на самом деле применили, то и вопрос бы снялся)

[Sicker]

Red_Herring
Вот так, если $0<k_1<N$, то при обмене матожидание выигрыша 1.25Х, а если $k_1=N$, то Х/2, а если $k_1=0$, то 2Х

[Red_Herring]

Ну вот и все: есть условные матожидания $Y$ при условии $X=2^k$, а есть условные матожидания $X$ при условии $Y=2^l$ и условия разные, т.е. нет никакого противоречия.

[Sicker]

Red_Herring
Ну да. И выигрышная стратегия не симметрична для обоих игроков)