Векторные подпространства

[Sdy]

Для начала несколько определений из моей литературы :
Назовём множество $U \in V$, где $V$ - векторное пространство над $F$, векторным подпространством, если на множестве $U$ выполнены аксиомы векторного пространства относительно умножения элементов векторного пространства на скаляры и сложения этих элементов. Чтобы проверить, является ли $U \in V $ векторным подпространством нужно выяснить, выполнены ли 3 пункта :
1.Принадлежит ли нулевой элемент $U$.
2.Замкнуто ли $U$ относительно сложения элементов.
3.Замкнуто ли относительно умножения элементов на скаляр.

Само задание :
Проверить,что в $\mathbb{R}^{2}$ векторными подпространствами являются $\left\lbrace0\right\rbrace$,$\mathbb{R}^{2}$ и любая прямая проходящая через центр.
<С $\mathbb{R}^{2}$ - всё просто.$\mathbb{R}^{2}$ это $\left\lbrace(x_{1}, x_{2}) : x_{1},x_{2} \in \mathbb{R}\right\rbrace$. Мы уже определяли там сложение, умножение на скаляр и равенство. Нулевой элемент там есть, сложение замкнуто просто из того факта, что сложив два числа из $\mathbb{R}$ вылезти из $\mathbb{R}$ мы не сможем, также как и при перемножении на скаляр.
С $\left\lbrace0\right\rbrace$ тоже всё просто.
Любую прямую, проходящую через центр мы можем задать вот так : $\left\lbrace(x, y) : x, y \in \mathbb{R}, ax - y = 0 \right\rbrace$.
Нулевой элемент там есть.
Сложим 2 элемента : (x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}). То есть мы получили элемент
(x_{1} + x_{2} = x_{3}, y_{1} + y_{2} = y_{3} : ax_{3} - y_{3} = 0). Ясно что он также лежит на прямой, я могу проверить это чисто алгебраически, подставив в уравнение соответствующие выражения для $x_{3}, y_{3}$ и получив тождество.
Тоже и по умножению, получим элемент, который всё также будет лежать на прямой.>

Корректно ли моё доказательство? Всё ли верно? (Я его сократил, опустив вроде как очевидные вещи).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[iifat]

А что заставляет вас сомневаться?

[mihaild]

Если "проверить, что подпространствами являются $\ldots$" читать как "подпространства - это $\ldots$ и только они", то нужно доказать еще что других нет. (нужно ли так читать - вопрос сложный)

С доказательством всё правильно.

(Оффтоп)

Sdy в сообщении #1298085 писал(а):

$U \in V$

Всё-таки $U \subseteq V$.

[vpb]

Отметим для порядку, что там есть еще одна прямая, проходящая через центр, а именно $x=0$, т.е. $\{(0,y)\mid y\in{\mathbb R}\}$. Также возможно (но не наверняка), как указал mihaild, что в задании требовалось также доказать, что других подпространств, кроме описанных, нет.

[Sdy]

mihaild в сообщении #1298116 писал(а):

Если "проверить, что подпространствами являются $\ldots$" читать как "подпространства - это $\ldots$ и только они", то нужно доказать еще что других нет. (нужно ли так читать - вопрос сложный)

С доказательством всё правильно.

(Оффтоп)

Sdy в сообщении #1298085 писал(а):

$U \in V$

Всё-таки $U \subseteq V$.

Нет, в книге пока пишут, что докажите, что являются, а про "только они", говорят, что пока не обладаем нужным инструментарием.

iifat в сообщении #1298110 писал(а):

А что заставляет вас сомневаться?

Я изучаю алгебру с начала постепенно и если я не уверен прям таки на 99%, то пытаюсь спросить здесь, да бы не тащить за собой неправильные мысли.

Тем более, что обычно комментарии участников выявляют у меня пробелы в понимании.
Спасибо за замечания.

[Sdy]

Решил задать следующий вопрос в этой же теме, так как тематика (как и параграф учебника) остается тот же.
Дошёл до суммы подпространств данного векторного пространства.
Сумму векторных подпространств определили вот так :
"Пусть $V$ - векторное пространство над $F$. Тогда, если $ U_{1}, ..., U_{n}$ - векторные подпространства $V$, то их сумму мы введём как
$U_{1}+ ... + U_{n} = {u_{1} + ... + u_{2} : u_{i} \in U_{i} \forall i = 1..n}$."
То есть я понимаю сумму подпространств как множество, состоящее из всевозможных сумм элементов, входящих в слагаемые данной суммы.
Далее меня попросили доказать,что если множества - подпространства векторного пространства, то и их сумма - векторное подпространство. Вроде бы затруднений не было.

А вот дальше мне говорят "Suppose $U = \left\lbrace (x, 0, 0) \in F^{3} : x \in F\right\rbrace ,W = \left\lbrace(0, y, 0) \in F^{3} : y \in F\right\rbrace \to $
$U+W = \left\lbrace(x, y, 0) : x,y \in F\right\rbrace$
as you should verify". (Литература на английском, поэтому процитировал почти дословно).
И я не понимаю,что от меня хотят. Разве это не очевидно? (Что в таком случае мы получим именно всевозможные суммы.) Тут какой-то подвох? Или есть явный способ строгого доказательства?
Следующее задание меня удивило, но оно основывается на этом задании и я надеюсь сделать его, поняв, что от меня хотят тут.

[Someone]

Я думаю, что от Вас хотят, чтобы Вы формально проверили, что так определённое $W$ действительно является суммой $U$ и $V$, то есть, что каждый элемент $W$ является суммой элементов $U$ и $V$, и что сумма любых двух элементов $U$ и $V$ принадлежит $W$. Разумеется, это "очевидно", но нужно всё выписать явно.

[Sdy]

Someone
Спасибо, следующее задание решилось.
Теперь возник вопрос по следующему утверждению :
"Пусть $U_{1},...,U_{n}$ - векторные подпространства данного векторного пространства $V$. Обозначим векторное подпространство $V$ , содержащее в себе $U_{1},...U_{n}$ как $U'$. Пусть $U = U_{1} + ... + U_{n}$. Доказать, что наименьшее векторное подпространство $V$, содержащее $U'$ это $U$."
<Ясно, что $U \subset U'$ - это следует из замкнутости векторного подпространства относительно суммы элементов - $U'$ обязано содержать все конечные суммы своих элементов, а ими как раз и являются элементы $u_{i} \in U_{i}, \forall i = 1..n$. Значит подпространство, содержащее $U'$ не может быть меньше, чем $U$. Докажем теперь, что и больше ему быть не нужно. Чтобы доказать, что $U' \subset U$ достаточно вспомнить, что $U = U_{1} + ... + U_{n} = \left\lbrace u_{1}+ ... + u_{n}\right\rbrace$ и рассмотреть суммы где все элементы кроме одного будут равны нулю, так мы сможем получить все элементы из $U'$, а значит $U' \subset U$. Следовательно $U$ действительно наименьшее векторное подпространство $V$, содержащее $U'$>
Собственно вопрос, верно ли доказательство? Были проблемы с пониманием минимальности и вроде как разрешились, но хотелось бы удостовериться до конца.

[Sdy]

Хотел бы поднять тему. Я что-то неверно формулирую или же вопросы кажутся слишком тривиальными?

[iifat]

Sdy в сообщении #1305032 писал(а):

Чтобы доказать, что $U' \subset U$ достаточно вспомнить, что $U = U_{1} + ... + U_{n} = \left\lbrace u_{1}+ ... + u_{n}\right\rbrace$ и рассмотреть суммы где все элементы кроме одного будут равны нулю, так мы сможем получить все элементы из $U'$, а значит $U' \subset U$

Что-то я не понял ни этого места, ни его необходимости. Всякое $U'$ содержит $U$; значит, оное $U$ — минимум; оно является линейным пространством — значит, оно и есть минимальное линейное просранство. Всё, имхо.

[Sdy]

iifat в сообщении #1306029 писал(а):

Что-то я не понял ни этого места, ни его необходимости. Всякое $U'$ содержит $U$; значит, оное $U$ — минимум; оно является линейным пространством — значит, оно и есть минимальное линейное просранство. Всё, имхо.

Ну ведь из того что $U \subset U'$ не следует, что $U' \subset U$ ? Я и доказываю, что множеству, содержащему в себе $U'$ не нужно быть больше, чем $U$.

[iifat]

Попробуем взять случай попроще.
Доказать, что 0 — минимальное натуральное число (пускай у нас натуральный ряд с нуля).
1, Докажем, что 0 — натуральное число;
2, Докажем, что любое натуральное число не меньше нуля.
Надо ли нам доказывать, что наименьшее натуральное число не больше нуля? По-моему, нет; доказанного достаточно.

Sdy в сообщении #1306063 писал(а):

из того что $U \subset U'$ не следует, что $U' \subset U$?

Вот тут у вас некая путаница, из-за чего и доказать не получается. В условии задачи $U'$ — одно из кучи (не уверен, что её можно называть множеством) линейных пространств. Как и у меня в п.2 «любое натуральное число». А вот в заключении — «минимальное натуральное число», потому что «любое натуральное число» уж всяко может быть больше нуля.