Цитата:
How about the Conjecture I've posted? Any comments?
I've read your way of argumenting the solution. However, I felt that the original post asked for the definitive answer.
Если в оригинальном послании требуется определенный ответ, то Ваша догадка верна. Доказывается это довольно просто – допустим, что на какой-то итерации встретится 7, это значит найдется такое число N=p1^a1*p2^a2..>6 (если в первой итерации мы согласно условия брали N>6 то можно показать, что ни при каком q мы не попадем в полосу до 6 на последующих итерациях), что 1+a1^q*p1+a2^q*p2+…=7 или a1^q*p1+a2^q*p2+..=6(*)
В равенстве (*) лишние слагаемые еще больше усугубляют сумму, поэтому достаточно рассмотреть a1^q*p1=6, но ясно, что при N>6, q>2 данное равенство невозможно. ч.т.д.
Более того, исходя из сказанного, можно утверждать, что для любого q>2 и любого N>6 минимальное число, которое может встретиться в итерациях это 8, что доказывается аналогично.
Здесь более интересным является вопрос о количестве неподвижных точек в зависимости от q. Так, если q=1, то нами была указана одна неподвижная точка (и она действительно одна, т.к. сумма не может быть равна произведению кроме 6), начинаем двигаться дальше q=2 – кроме 6, неподвижная точка – 12, q=4 – (6, 44); q=6 – (6, 172). Вот это, если я не ошибаюсь, сложнейший вопрос и диофантова анализа и теории простых чисел. Вот здесь нужны энтузиасты В.Сорокины – но за это денег не обещают.
