попадание двух снарядов в одну воронку

[realeugene]

AndreyL в сообщении #1296869 писал(а):

А можно чуть подробнее?

Классическое определение вероятности с равновероятными элементарными исходами, число размещений без повторов делить на число всех возможных размещений. Кстати, это классическая задача, которая называется "Парадокс дней рождения".

Для неравномерного распределения, думаю, вероятность совпадения будет выше, так как числа будут кучковаться в окрестностях более вероятных бинов.

[Евгений Машеров]

Точное, но непрактичное решение для общего случая.
Разместим m шаров по n ячейкам. Если m>n, то обязательно где-то будет два в одной.
В противном случае рассмотрим все способы выбрать m ячеек из n. Пусть выбраны ячейки $i_1, i_2,...i_m$
Тогда вероятность, что шарики лягут по одной в эти ячейки, будет $P(i_1, i_2,...i_m)=m!p_{i_1}\cdots p_{i_m}$
Просуммировав по всем возможным вариантам выбора, получим вероятность того, что все m шаров легли по-одному.
Увы, вариантов многовато.

[realeugene]

Есть следующая идея, как подсчитать вероятности для произвольных распределений. Идею не тестировал.

Допустим, у нас $N$ коробок, в них добавляются случайным образом шарики, по одному шарику за раз. Пусть на $k$-м шаге вероятность добавить шарик в $i$-ю коробку равна $p_i^k$, $\sum_{i=1}^N p_i^k=1$, и эти распределения независимые для различных $k$. Пусть $F^k$ - вероятность того, что после $k$ шагов как минимум в одной коробке оказалось более одного шарика, а $E_i^k$ - условное матожидание количества шариков в $i$-й коробке после $k$-го шага при условии, что во всех коробках не более одного шарика (совпадающее с условной вероятностью обнаружить в $i$-й коробке шарик после $k$-го шага при условии что в каждой коробке не более одного шарика). Начальное состояние: $F^0=0$, $E_i^0=0$. Шаг рекурсии: $F^k=F^{k-1}+\left(1-F^{k-1}\right)\cdot\sum_{i=1}^N E_i^{k-1}p_i^k$, $E_i^k=p_i^k\left(1-E_i^{k-1}\right)+\left(1-p_i^k\right)E_i^{k-1}$.

Впрочем, по поводу точности этой рекурсии при обновлении матожидания рассматриваемой коробки если шарик добавлен в другие коробки я не уверен, но подумаю об этом позже.

[AndreyL]

Есть подозрение, что для оценки минимальной вероятности достаточно приближения равномерного распределения. СПАСИБО!
Еще вопрос вдогонку, чтобы уже закончить задачу. Предположим есть $n$ анализов каждый на $m$ компонент, компоненты независимы (на практике это не так, но наличие корреляций только увеличивают вероятность). Распределение каждого компонента равномерное на своем диапазоне, все цифры округлены до второго знака после запятой. Формально у каждого $j$-го компонента есть $N_j$ возможных равновероятностных значений. Тогда вероятность хотя бы одного совпадения по $j$-му компоненту $p_j=1-\frac{N!}{(N-n)!}N^{-n}$. Поскольку значения компонентов независимы, то вероятность полного совпадения (сразу по всем компонентам) $\prod_{j=1}^{m}p_j$. Правильно ли я считаю? Или нужно наоборот, перемножать вероятность несовпадений?

[realeugene]

realeugene в сообщении #1296886 писал(а):

Впрочем, по поводу точности этой рекурсии при обновлении матожидания рассматриваемой коробки если шарик добавлен в другие коробки я не уверен

В общем, к сожалению, рекурсия ошибочная.

-- 12.03.2018, 08:25 --

AndreyL в сообщении #1296898 писал(а):

Правильно ли я считаю? Или нужно наоборот, перемножать вероятность несовпадений?

Нет, неправильно. Ни так, ни так. Это у вас учебная задача?

[Евгений Машеров]

В Johnson N.L., Kotz S., Balakrishnan N. Discrete Multivariate Distributions
https://www.twirpx.com/file/1431335/
нашёл неравенство
$Pr[\bigcap_{i=1}^k(N_i \leq c_i)]=\prod_{i=1}^k Pr(N_i\leq c_i)$
Возможно, оно позволит дать лучшую оценку для неравных $p_i$

[AndreyL]

realeugene в сообщении #1296902 писал(а):

Нет, неправильно. Ни так, ни так. Это у вас учебная задача?

А как правильно? Задача не учебная, я ее уже полностью описал: на сотню анализов есть полное совпадение - это косяк или вполне реальная ситуация?

[realeugene]

AndreyL в сообщении #1296936 писал(а):

Задача не учебная,

Чтобы совпали сразу все компоненты у какой-то пары анализов, должен совпасть каждый компонент у этой пары. Такая задача полностью эквивалентна исходному парадоксу дней рождения, только $N=\prod_{i=1}^m N_i$. При $n\ll\sqrt{N}$ вероятность случайного полного совпаденния двух анализов в куче из $n$ штук равна $P\approx\frac{n(n-1)}{2N}$.

[Евгений Машеров]

Мы вообще склонны принимать совпадения за Знаки. А вероятность чисто случайного совпадения куда выше, чем кажется.

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1296959 писал(а):

Мы вообще склонны принимать совпадения за Знаки. А вероятность чисто случайного совпадения куда выше, чем кажется.

На самом деле, эта задача - хороший пример того, как избыточность (добавление независимых компонентов к анализу) принципиально уменьшает вероятность случайного совпадения вплоть до пренебрежимо малых значений.

[AndreyL]

realeugene в сообщении #1296958 писал(а):

Чтобы совпали сразу все компоненты у какой-то пары анализов, должен совпасть каждый компонент у этой пары. Такая задача полностью эквивалентна исходному парадоксу дней рождения, только $N=\prod_{i=1}^m N_i$.

Да, вот теперь получается! Проверил Монте-Карлой. Спасибо! Пойду ругаться с химиками - при десяти компонентах даже в 1000 анализах полное совпадение практически нереально.

[Евгений Машеров]

0. "Полное совпадение" - это по всем измеренным величинам совпадает, или что-то иное? Хотелось бы подробнее.
1. Монтекарлить, видимо, единственно практичный подход. Точные вычисления для приведенных количеств "ячеек" слишком трудоёмки.
2. Надо как-то учесть неравновероятность ячеек и коррелированность измерений разных величин. И то, и то резко повышает вероятность совпадений.

[AndreyL]

0. Полное совпадение, это когда разность между двумя векторами измерений (по двум разным пробам) в точности равна нуль-вектору, соответствующие цифры даже в сотых не различаются, а округление до сотых.
2. Да, Вы правы. В приближении равномерного распределения мы оцениваем минимальную вероятность совпадения. Можно, действительно, Монте-Карлой через копулу с усеченными нормальными и, предположим, вдвое увеличенными корреляциями, но это уже дело техники.

[realeugene]

В предположении малой вероятности совпадения и гладкости распределения на масштабе элементарной ячейки можно посчитать искомую вероятность для любого подобного распределения через вероятность попадания разности двух значений в объём элементарной ячейки в окрестности нуля. Вероятность совпадения для $n$ анализов в $\frac{n(n-1)}{2}$ раз больше таковой для одной пары.

[Евгений Машеров]

Полуоффтоп:
"Два снаряда в одну воронку не попадают" отражает не чисто вероятностные свойства независимых величин, а то, что они не независимые. Согласно Правилам Стрельбы, выпустив часть снарядов, установки прицела меняют так, чтобы более равномерно распределить снаряды по территории. Поэтому воронки от упавших первыми снарядов оказываются там, где вероятность падения следующих ниже.