попадание двух снарядов в одну воронку

[AndreyL]

Друзья!

Возникла такая задача. Есть некоторая непрерывная случайная величина. Из нее можем взять выборку $X$ объема $n$. Но дело в том, что все элементы выборки $X$ округлены до, предположим, второго знака поле запятой, фактически это уже дискретная случайная величина. Какова вероятность того, что в выборке окажутся как минимум два одинаковых элемента?
По идее, можно разбить всю область на карманы длиной 0.01 и узнать вероятность попадания в карман одной реализации. Дальше биномиальным распределением узнать вероятность попадания в каждый карман не менее двух реализаций, если всего их $n$. Но, есть подозрение, что такие вероятности не должны быть независимыми. Как тогда корректно оценить вероятность попадания двух значений в один карман (т.е. совпадения округленных значений)?

[Brukvalub]

AndreyL в сообщении #1296813 писал(а):

есть подозрение, что такие вероятности не должны быть независимыми.

Вероятности не бывают зависимыми или независимыми. Этот термин относится к событиям.

[AndreyL]

Согласен, некорректно выразился. В любом случае, попадание первого же значения в любой карман меняет все вероятности.

[Brukvalub]

Обычно элементы выборки рассматриваются как реализации независимых с.в.

[AndreyL]

Так они и есть независимые. Само по себе попадание в любой карман - это независимо. А вот вероятность попадания в карман из $n$ реализаций уже нет, биномаильное распределение не подходит. Тут, по идее, мультиномиальное распределение, но если пробовать простым перебором, то вариантов огромное количество.

[upgrade]

AndreyL
А если попробовать округлить так сурово, что числа будут либо $0$ либо максимум, то тогда какая вероятность попадания, скажем в максимум?

[AndreyL]

А почему сурово-то? Например распределение задано на интервале [0,7], всего получается 701 карман - вполне нормально.

[upgrade]

AndreyL
Так сделайте всего два "кармана" ($0$ и $7$), затем три затем ... $701$.

[realeugene]

AndreyL в сообщении #1296813 писал(а):

Как тогда корректно оценить вероятность попадания двух значений в один карман

Двух в один карман или не менее одного кармана с более чем одним значением? В последнем случае, например, сначала рассмотрите следующее событие: все ваши значения попали в разные карманы. Кроме того, тут, наверное, можно воспользоваться формулой вероятности объединения событий.

[AndreyL]

не менее одного кармана с более чем одним значением, т.е. как минимум одно совпадение. Если простым перебором взять все варианты, что ни одного совпадения нет, то количество вариантов равно количеству перестановок, т.е. $701!$, а это 1692 порядок. Сомневаюсь, что компьютер способен это посчитать в разумное время. По крайней мере матрицу перестановок он генерировать отказался - ни памяти не хватит, ни разрядности итератора. А как в этом случае воспользоваться формулой вероятности объединения событий?

-- Вс мар 11, 2018 8:10 pm --

Я накидал Монте-Карлой, для объема выборки 100 вероятность хотя бы одного совпадения получилась не меньше 99.9%, для объема выборки 20 эта вероятность в районе 23.5%. Вот и взяли сомнения.

[Евгений Машеров]

Надо смотреть в сторону мультиномиального распределения.

[realeugene]

AndreyL в сообщении #1296859 писал(а):

Я накидал Монте-Карлой, для объема выборки 100 вероятность

У вас какое исходное распределение? Я почему-то первоначально подумал про равномерное. Для него всё считается на бумаге.

[AndreyL]

Реально и меня усеченное нормальное, но можно попробовать, для простоты, для равномерного.

[realeugene]

Для равномерного легко комбминаторно получить следующее точное выражение: $P=1-\frac{N!}{(N-n)!}N^{-n}\approx 1-\left(\frac{N}{N-n}\right)^{N-n+\frac{1}{2}} e^{-n}$

[AndreyL]

realeugene в сообщении #1296867 писал(а):

Для равномерного легко комбминаторно получить следующее точное выражение$[/math]

А можно чуть подробнее?
Да, тогда действительно получается 99.94%. Т.е. раскидать 100 шариков на 700 одинаковых ячеек без повторов практически невозможно (если кидать горстями).
И еще получается, что если есть 100 анализов, каждый на 10 компонент, то полное совпадение хотя бы двух из них практически неизбежно, вероятность 99.4%. Забавно, для меня полное совпадение двух анализов всегда было ошибкой в данных.