Оценить интеграл

[Men007]

Оценит интеграл:
$\iint\limits_{D}^{}(4x^{2}+y^{2}-2)dxdy$, где $(x^{2}+y^{2} \leqslant 16)$.

Решение:
Решим этот интеграл в полярной системе координат:

$\iint\limits_{D}^{}(4x^{2}+y^{2}-2)dxdy=\int\limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{4}(4 r^{2} (\cos \varphi)^{2}+r^{2} (\sin \varphi)^{2} - 2) r dr d \varphi = 288 \pi$

Если пробовать считать не в полярной системе координат, то получается вот так:

$\iint\limits_{D}^{}(4x^{2}+y^{2}-2)dxdy=\int\limits_{-4}^{4} dx \int\limits_{-\sqrt{16-x^{2}}}^{\sqrt{16-x^{2}}} (4 x^{2} + y^{2} - 2)dy = 64 \pi$

Во-первых, не могу понять почему получаются разные ответы.
Во-вторых, я понимаю, что можно найти точное значение данного интеграла. Однако в задании подразумевается не нахождение интеграла, а нахождение приближенного отрезка, в котором этот интеграл находится. Как я понял, здесь необходимо воспользоваться теоремой об оценке двойного интеграла $mS \leqslant \iint\limits_{D}^{} f(x,y) dxdy \leqslant MS$, то есть нужно искать максимумы и минимумы функций, но вот каких функций и как их искать я не могу понять. Что нужно сделать , чтобы найти $mS$ и $MS$?

[thething]

Men007 в сообщении #1297080 писал(а):

Во-первых, не могу понять почему получаются разные ответы.

Перепроверьте вычисления, первый ответ правильный

Men007 в сообщении #1297080 писал(а):

нужно искать максимумы и минимумы функций, но вот каких функций и как их искать я не могу понять

Исследовать на максимум и минимум функцию $4x^2+y^2-2$ при условии $x^2+y^2\leqslant16$, т.е. решить задачу на условный экстремум методом множителей Лагранжа

[vpb]

Men007 в сообщении #1297080 писал(а):

но вот каких функций и как их искать я не могу понять.

Это жаль, что Вы этого понять не можете. В чем вообще состоит теорема об оценке интеграла, знаете?

thething в сообщении #1297095 писал(а):

Исследовать на максимум и минимум функцию $4x^2+y^2-2$ при условии $x^2+y^2\leqslant16$, т.е. решить задачу на условный экстремум методом множителей Лагранжа

Так какие там максимум и минимум, это в данном конкретном случае без всякого Лагранжа видно тотчас... (будь область или функция посложнее, нужно было бы через Лагранжа, а в данном случае --- вопрос чисто школьный, причем устный).

[thething]

vpb
Ну, мне показалось, что задача рассчитана именно на Лагранжа, простенького такого Лагранжа. Типа, вот был прошлый раздел про неявные функции и условные экстремумы, а примените-ка это к оценке интеграла. То, что ответ и так очевиден, я прекрасно понимаю, а вот ТС, судя по его вопросам, неплохо все-таки Лагранжа применить, как универсальное оружие так сзать.

[Men007]

vpb
Главная проблема в том, что мне никто не объяснял, как решать такие задания. А про минимумы и максимумы я лишь предположил (в интернете мне не удалось найти примеров решения такой задачи).
Из этих предположений возможно такое решение:
1) Ищем минимумы и максимумы внутри области:
$f(x;y)=4 x^{2}+y^{2}-2$

$\frac {\partial f(x;y)}{\partial x} = 8 x$
$8 x=0$
$x=0$

$\frac {\partial f(x;y)}{\partial y} = 2 y$
$2y=0$
$y=0$

Точка $(0;0)$ является точкой минимума.
$f(0;0)=-2$ - минимум.

2) Ищем минимум и максимум на границе области:
Вот именно здесь я начинаю не понимать, какую функцию исследовать и что куда подставлять.
$x^{2}+y^{2}=16$
$y^{2}=16-x^{2}$
$F=4 x^{2}+16-x^{2}-2=3 x^{2}+14$
$F'=6 x$
$x=0$
Здесь я понимаю, что решаю неверно, но как решить не знаю. В итоге точка максимума $(4;0)$.
$f(4;0)=62$ - максимум.

И таким образом, получим:

$-32 \pi \leqslant \iint\limits_{D}^{} f(x;y) dx dy \leqslant 992 \pi$

[thething]

Men007 в сообщении #1297226 писал(а):

2) Ищем минимум и максимум на границе области:
Вот именно здесь я начинаю не понимать, какую функцию исследовать и что куда подставлять.

Я же Вам написал: метод множителей Лагранжа, как универсальное средство. Хоть это можно решить и без данного метода, но Вам он будет не лишним.
Замечание к Вашим рассуждениям: Вы находите не минимумы и максимумы, а всего лишь стационарные точки. На минимумы и максимумы надо исследовать дополнительно. К счастью, задача этого не требует, т.к. из всех найденных стационарных точек надо будет только выбрать те, которые доставляют подынтегральной функции наибольшее и наименьшее значения.

-- 14.03.2018, 05:24 --

Men007 в сообщении #1297226 писал(а):

$F=4 x^{2}+16-x^{2}-2=3 x^{2}+14$

Не забудьте, что это при условии

Men007 в сообщении #1297226 писал(а):

$x^{2}+y^{2}=16$

Очевидно, что чем больше $x^2$, тем больше значение функции, поэтому наибольшее ее значение при указанном условии достигнется при максимально возможном $x^2=16$

[vpb]

Men007
Задачу Вы решили правильно. Вот так такие задачи и решают.

Men007 в сообщении #1297226 писал(а):

Главная проблема в том, что мне никто не объяснял, как решать такие задания

Гм. Попробую в трех словах. Получить оценку интеграла, или вообще какой-либо величины --- значит указать границы, в которых она находится, верхнюю и/или нижнюю. Для оценки интегралов есть такое утверждение: $mS\leq I\leq MS$, где $I$ --- значение интеграла, $S$ --- длина/площадь/объем области интегрирования, $m$ и $M$ --- наибольшее и наименьшее значение функции в области. Доказывается утверждение очень просто, см. любой учебник. В Пискунове (эту книжку любят в тех.вузах, а сам я ее не люблю, признаться) даже картинка нарисована, откуда это утверждение (называемое "теорема об оценке") берется.

Надо заметить, однако, вот что: если найдено точное значение величины, то оно уже тем самым и является оценкой. Т.е., строго говоря, самое первое решение было вполне достаточно. Другое дело, что иные преподаватели хотят, чтобы задачу решили предписанным методом: если сказано через "теорему об оценке", значит через неё и никак иначе.
Ну тут я уж не знаю, какая у Вас ситуация (сам я, когда доводилось преподавать, так не поступал).

[vpb]

Или, возможно, я Вас неправильно понял: проблема, как использовать теорему об оценке интеграла, или как искать максимум/минимум функции в области? Если как искать экстремум, то напишите, каким учебником Вы пользуетесь, чтоб можно было указать, какое там место читать (если еще не прочитали).
Хотя, в принципе, Вам thething уже написал. Или про условные экстремумы / экстремумы функции в области вы еще вообще ничего не изучали (не проходили) ?