2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Неравенство 21.
Сообщение04.03.2018, 12:15 


03/03/12
1088
Slip в сообщении #1295388 писал(а):
Йенсеном тут никто и не пользовался

Возможно я не так правильно поняла. Хорошо. Никто не пользовался. Действительно, там всё очень просто.
Slip в сообщении #1295388 писал(а):
а к полученным двум слагаемым - исходное неравенство для двух слагаемых

Для двух слагаемых область определения получается шире. Интересно, когда можно расширить область определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 21.
Сообщение04.03.2018, 12:29 
Заслуженный участник


09/02/06
4339
Москва
Область легко расширяется до положительных $x_i$ с условием $x_1x_2...x_n>1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 21.
Сообщение04.03.2018, 18:23 
Заслуженный участник


09/02/06
4339
Москва
Имеется несколько доказательств (я знаю минимум 2, не совпадающих с приведенным) для этого неравенства
для всех положительных $x_i$ с условием $\prod x_i\ge 1$.
Мне нравится следующее, основанное на средних по симметричным многочленам:
$$E_k(x_1,...,x_n)=\sqrt[k]{\frac{\sigma_k(x_1,x_2,...,x_n)}{C_n^k}},$$
где $\sigma_k(x_1,...,x_n)$ симметричный многочлен k-го порядка от этих переменных.
Известно, что $E_1\ge E_2\ge ...\ge E_n$. Используем еще, среднее гармоничное (-1 го порядка) не превышает среднего геометрического (0-го порядка). Обращая последнее:
$$\sum_i \frac{1}{1+x_i}\ge \frac{n}{\sqrt[n]{\prod_i (1+x_i)}}\ge \frac{n}{\sqrt[n]{1+nE_1+C_n^2E_2^2+...+C_n^nE_n^n}}\ge \frac{n}{1+E_n}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 21.
Сообщение04.03.2018, 19:14 


13/11/09
117
Руст в сообщении #1295392 писал(а):
Область легко расширяется до положительных $x_i$ с условием $x_1x_2...x_n>1$.

Не похоже, $x_1=x_2=N, x_3=\frac1{N^2}$, тогда левая часть равна $\frac2{N+1}+\frac1{1+\frac1{N^2}}$ и стремится к 1 при больших $N$, а правая равна $\frac32$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 21.
Сообщение04.03.2018, 20:40 
Заслуженный участник


09/02/06
4339
Москва
Да, я перепутал. Отсюда получается только неравенство
$>=\frac{n}{1+E_1}$. Хотя при $n=2$ достаточно условия $x_1x_2\ge 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 21.
Сообщение12.03.2018, 11:37 
Заслуженный участник


03/01/09
1270
москва
Неравенство выполняется и при таких условиях: $x_1x_2, x_2x_3,\dots ,x_{n-1}x_n,x_nx_1\geq 1, x_i>0.$
Для доказательства запишем левую часть неравенства в виде:$$\dfrac 12(\dfrac 1{1+x_1}+\dfrac 1{1+x_2})+\dfrac 12(\dfrac 1{1+x_2}+\dfrac 1{1+x_2})+\dots +\dfrac 12(\dfrac 1{1+x_{n-1}}+\dfrac 1{1+x_n})+\dfrac 12(\dfrac 1{1+x_n}+\dfrac 1{1+x_1})\qquad (1)$$Поскольку при $n=2$ неравенство справедливо при условии $x_1x_2\geq1$, то:$$(1)\geq \dfrac 1{1+\sqrt {x_1x_2}}+\dots +\dfrac 1{1+\sqrt {x_nx_1}}\geq \dfrac n{1+\sqrt [n]{x_1\dots x_n}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 21.
Сообщение13.03.2018, 09:53 


03/03/12
1088
mihiv, вроде, у Вас имеется опечатка ($x_2$ повторяется три раза, а должно два раза?).

Далее, у Руст информации для экстраполяции недостаточно (на эти грабли кто-то уже наступал при обобщении неравенств для однородных функций), а у Вас избыточно.

Т.е. задачу можно переформулировать:

найти минимальное количество информации, которую можно экстраполировать, чтобы неравенство исходное сохранялось.

(Я при решении такой задачи придерживаюсь некоторой технологии; тогда задача решается (гипотетически) полу устно и остаётся лишь найти стандартное решение (пока осечек не было); для данной задачи решение очень простое (именно в этом плане она мне интересна)).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 21.
Сообщение13.03.2018, 11:34 
Заслуженный участник


03/01/09
1270
москва
TR63 в сообщении #1297115 писал(а):
($x_2$ повторяется три раза, а должно два раза?).

Да, опечатка. Вторая скобка в (1) должна быть: $\dfrac 12(\dfrac 1{1+x_2}+\dfrac 1{1+x_3})$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group