Неравенство 21.

[TR63]

Slip в сообщении #1295388 писал(а):

Йенсеном тут никто и не пользовался

Возможно я не так правильно поняла. Хорошо. Никто не пользовался. Действительно, там всё очень просто.

Slip в сообщении #1295388 писал(а):

а к полученным двум слагаемым - исходное неравенство для двух слагаемых

Для двух слагаемых область определения получается шире. Интересно, когда можно расширить область определения.

[Руст]

Область легко расширяется до положительных $x_i$ с условием $x_1x_2...x_n>1$.

[Руст]

Имеется несколько доказательств (я знаю минимум 2, не совпадающих с приведенным) для этого неравенства
для всех положительных $x_i$ с условием $\prod x_i\ge 1$.
Мне нравится следующее, основанное на средних по симметричным многочленам:

$$E_k(x_1,...,x_n)=\sqrt[k]{\frac{\sigma_k(x_1,x_2,...,x_n)}{C_n^k}},$$

где $\sigma_k(x_1,...,x_n)$ симметричный многочлен k-го порядка от этих переменных.
Известно, что $E_1\ge E_2\ge ...\ge E_n$. Используем еще, среднее гармоничное (-1 го порядка) не превышает среднего геометрического (0-го порядка). Обращая последнее:

$$\sum_i \frac{1}{1+x_i}\ge \frac{n}{\sqrt[n]{\prod_i (1+x_i)}}\ge \frac{n}{\sqrt[n]{1+nE_1+C_n^2E_2^2+...+C_n^nE_n^n}}\ge \frac{n}{1+E_n}.$$

[Slip]

Руст в сообщении #1295392 писал(а):

Область легко расширяется до положительных $x_i$ с условием $x_1x_2...x_n>1$.

Не похоже, $x_1=x_2=N, x_3=\frac1{N^2}$, тогда левая часть равна $\frac2{N+1}+\frac1{1+\frac1{N^2}}$ и стремится к 1 при больших $N$, а правая равна $\frac32$

[Руст]

Да, я перепутал. Отсюда получается только неравенство
$>=\frac{n}{1+E_1}$. Хотя при $n=2$ достаточно условия $x_1x_2\ge 1$.

[mihiv]

Неравенство выполняется и при таких условиях: $x_1x_2, x_2x_3,\dots ,x_{n-1}x_n,x_nx_1\geq 1, x_i>0.$
Для доказательства запишем левую часть неравенства в виде:

$$\dfrac 12(\dfrac 1{1+x_1}+\dfrac 1{1+x_2})+\dfrac 12(\dfrac 1{1+x_2}+\dfrac 1{1+x_2})+\dots +\dfrac 12(\dfrac 1{1+x_{n-1}}+\dfrac 1{1+x_n})+\dfrac 12(\dfrac 1{1+x_n}+\dfrac 1{1+x_1})\qquad (1)$$

Поскольку при $n=2$ неравенство справедливо при условии $x_1x_2\geq1$, то:

$$(1)\geq \dfrac 1{1+\sqrt {x_1x_2}}+\dots +\dfrac 1{1+\sqrt {x_nx_1}}\geq \dfrac n{1+\sqrt [n]{x_1\dots x_n}}$$

[TR63]

mihiv, вроде, у Вас имеется опечатка ($x_2$ повторяется три раза, а должно два раза?).

Далее, у Руст информации для экстраполяции недостаточно (на эти грабли кто-то уже наступал при обобщении неравенств для однородных функций), а у Вас избыточно.

Т.е. задачу можно переформулировать:

найти минимальное количество информации, которую можно экстраполировать, чтобы неравенство исходное сохранялось.

(Я при решении такой задачи придерживаюсь некоторой технологии; тогда задача решается (гипотетически) полу устно и остаётся лишь найти стандартное решение (пока осечек не было); для данной задачи решение очень простое (именно в этом плане она мне интересна)).

[mihiv]

TR63 в сообщении #1297115 писал(а):

($x_2$ повторяется три раза, а должно два раза?).

Да, опечатка. Вторая скобка в (1) должна быть: $\dfrac 12(\dfrac 1{1+x_2}+\dfrac 1{1+x_3})$