Обобщённые полиномы Лагерра(Тихонов и Самарский)

[Ascold]

Из этой книги про эти полиномы появился ещё один вопрос - Дополнение 2 часть 3, параграф 2 между формулами (16) и (17). Как правильно дифференцировать $n+2$ раза функцию $z=x^{n+s}e^{-x}$?
Я замечаю, что

$$\frac{d^kx^m}{dx^k}=\frac{m!}{m-k!}x^{m-k}, \quad \frac{d^{n+2-k}(x^{n+s})}{dx^{n+2-k}}=\frac{(n+s)!}{(s+k-2)!}x^{s+k-2}, \quad \frac{d^ke^{-x}}{dx^k}=(-1)^ke^{-x},$$

далее по формуле Лейбница n-й производной от произведения получаю

$$\frac{d^{n+2}(x^{n+s}e^{-x})}{dx^{n+2}}=\sum\limits_{k=0}^{n+2}C^k_{n+2}\frac{(n+s)!}{(k+s-2)!}x^{k+s-2}(-1)^ke^{-x}=\sum\limits_{k=0}^{n+2}\frac{(n+2)!}{k!(n+2-k)!}\frac{(n+s)!}{(k+s-2)!}x^{k+s-2}(-1)^ke^{-x},$$

а далее неясно, как из этого вытащить для $u=d^nz/dx^n$ уравнение xu''+(x+1-s)u'+(n+1)u=0?
Помимо производной порядка $(n+2)$ от $z$, пробовал дифференцировать её внутри функции $u$ - тоже не получается искомое уравнение.

[mihiv]

Сначала найти $z'=(n+s)x^{n+s-1}e^{-x}-x^{n+s}e^{-x}$, откуда $xz'=(n+s-x)z$, а затем по формуле Лейбница.

[Ascold]

Благодарю, всё получилось.
Кстати, в какой книжке тема уравнения обобщённых полиномов Лагерра построена наиболее изящно? Где есть хорошее изложение вопроса о нормировке радиальной части волновой функции по возможности без введения гипергеометрических функций как у Ландау, т.е. интересует вычисление интеграла

$$\left(N_n^s\right)^2=\int_0^\infty r^{2l}e^{-kr}\left(L_n^{(s)}\right)^2 r^2dr$$

[iakovk]

Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. Москва, Наука 1984.
В ней рассматриваются уравнения гипергеометрического типа, то есть такие:

$$\sigma(z)y''+\tau(z)y'+\lambda y=0.$$

где $z$ - независимая переменная, $\sigma(z)$ - полином не более чем второй степени, $\tau(z)$ - полином не более чем первой степени, $\lambda$ - число.
Прямо из этого уравнения выводятся формула Родрига, формула Дарбу-Кристоффеля, формулы дифференцирования и рекуррентные соотношения. То есть строится некая общая теория.
Полиномы Лагерра - это частный случай.
Так что рекомендую. Возможно вы сочтете это достаточно изящным.