несколько задач

[Echo-Off]

Spook, ну и каша!

Во-первых, образ замкнутого шара компактен не всегда.

Во-вторых, компакт является нигде не плотным множеством не всегда.

[Spook]

ewert я согласен, что: $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{\sin(x^2)}}{x}=1$ и интеграл становится обычным собственным. Но в формуле трапеции и прямоугольников в правой части неравенства стоит макcимум второй производной, которая неограниченна в нуле:

$${2\sqrt{\sin(x^2)}\over{x^3}}-2x\sqrt{\sin(x^2)}-\frac{\cos(x^2)}{x\sqrt{\sin(x^2)}}-\frac{x\cos^2(x^2)}{\sqrt{sin^3(x^2)}}$$

(и почему MathCad не поддерживает TeX?)
Это выражение стремится к $-\infty$ при $x\to 0$. То есть получается, что она все-таки не аналитична в $0$ (если под аналитичностью понимать разложимость в ряд Тейлора).

Добавлено спустя 10 минут 47 секунд:

Echo-Off писал(а):

Во-первых, образ замкнутого шара компактен не всегда.

Каждое множество $AS_n(0)$ компактно, поскольку оператор $A$ вполне непрерывный, а шар $S_n(0)$ - ограниченное множество.

Echo-Off писал(а):

Во-вторых, компакт является нигде не плотным множеством не всегда.

Я с этим не спорю, утверждается, что

Spook писал(а):

в бесконечномерном пространстве каждое компактное множество нигде не плотно.

Если Вы с этим не согласны, приведите пожалуйста контрпример.

[AD]

Spook писал(а):

оператор $A$ вполне непрерывный

Это было дано? Я что-то пропустил?

[Spook]

AD,

Spook писал(а):

1.Пусть $A:X\to Y$ ограниченный оператор в банаховых пространствах.

разве это не эквивалентные понятия?

[AD]

НЕТ. Ибо ограниченное и предкомпактное множество - это не одно и то же.

[Spook]

AD, да, действительно .
Означает ли это, что моё доказательство полностью провалено?

[AD]

Ну Narn уже давно заметил, что вы доказывали заведомо неверное утверждение, поэтому это было можно понять и раньше.

Добавлено спустя 6 минут 3 секунды:

Но для компактных операторов будет верно, если вы докажете-таки, что

Spook писал(а):

в бесконечномерном пространстве каждое компактное множество нигде не плотно.

[Spook]

AD, я пока что не очень это все осознал, но то, что для компактных операторов мои рассуждения верны, могу доказать.

[AD]

А это вроде бы верно. И даже очевидно.

Добавлено спустя 52 секунды:

Spook писал(а):

AD, я пока что не очень это все осознал

Операторы с замкнутым образом существуют. Например, тождественный и нулевой.

[Spook]

AD ну да, это верно и следует из теоремы Рисса. Это я про тощие множества в бесконечномерных пространствах.

[AD]

Spook писал(а):

AD ну да, это верно и следует из теоремы Рисса.

Из какой-такой теоремы Рисса?

[Spook]

Теорема (Рисса). Для того чтобы линейное многообразие $L$ нормированного пространства $E$ было локально компактным, необходимо и достаточно, чтобы $L$ было конечномерным.

[AD]

Ну то есть то же самое, что "шар в любом бесконечномерном нормированном пространстве некомпактен". Ну да, верно.

[Spook]

Ну хотя бы что-то
Narn касательно пункта 3) : этож надо доказатеть целую теорему Рисса
по пункту 4): Тождественное отображение $Ax=x$ является вложением пространства $C[a,b]$ в пространство $L_2[a,b]$. Так как любая непрерывная функция является интегрируемой.
Насколько я понял так вообще можно строить вложения $C^{\infty}[a,b]\subset...\subset C^n[a,b]...\subset C[a,b]\subset L_{\infty}[a,b]\subset...\subset L_1[a,b]$
(но только для конечных интервалов для вложений в $L_i[a,b]$).

[Echo-Off]

Spook писал(а):

Если Вы с этим не согласны, приведите пожалуйста контрпример

Да, согласен, ошибся