Помогите разобраться, кто прав

[OZH]

Уравнение --- это утверждение о том, что результат выполнения двух различных последовательностей одинаков. Если уравнение алгебраическое, то речь идёт об алгебраических операциях. Решить уравнение, значит, указать те элементы рссматриваемого пространства, которые превращают обе части уравнения в тождество...

У нас в СПбГУ есть один товарищь, который рассматривает эквивалентные преобразования и говорит, что может потеряться корректность. Мол, в этом причина многих аварий на флоте. Впрочем, что там на самом деле, сказать трудно...

[TOTAL]

OZH писал(а):

Решить уравнение, значит, указать те элементы рссматриваемого пространства, которые превращают обе части уравнения в тождество...

Тождество относительно чего?

[MGM]

TOTAL писал(а):

OZH писал(а):

Решить уравнение, значит, указать те элементы рссматриваемого пространства, которые превращают обе части уравнения в тождество...

Тождество относительно чего?

Наверное, относительно рассматриваемого пространства.
Можно вспомнить биекции.
Хотя, почему бы не расширить понятие уравнение?
Пусть справа элементы первого пространства отображаются на элементы третьего, а с лева отображение второго пространства отображаемого на третье.
Справа натуральные числа, слева рациональные, и всё отображается на множество треугольников.

Добавлено спустя 27 минут 58 секунд:

Коша писал(а):

Первый утверждал, что это просто равенство. Ведь уравнение - это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях переменных, входящих в него. Также первого смутил переход $x+x$ на $2*x$ в решении.
$x^2=x+x$ ==>
$x^2=2*x$ ==>
$x^2-2*x=0$

П.С: знаки ==> оставляю в первоначальном варианте, написанном вторым спорщиком

Статистически первый более прав.
Знак "=" чаще всего ассоциируется с равенством.
Более того, уравнение обязано, так или иначе, включать равенство, чего не скажешь о равенстве. Знак "плюс" может означать всё что угодно, в зависимости от воображения и определения буквы "х". Может автор строки вовсе ничего и не хотел решать, а второй спорщик за него даже постановку задачи умудрился сделать. То есть если отсутствует постановка задачи, то скорее всего это равенство, хотя может тайный шифр.

[OZH]

TOTAL писал(а):

Тождество относительно чего?

Тождество --- это утверждение о том, что два объекта неразличимы. $0\equiv 0$ --- простое тождество. $a\equiv a$ --- тоже простое тождество. Более сложное тождество: $a-a\equiv 0$.

[TOTAL]

OZH писал(а):

TOTAL писал(а):

Тождество относительно чего?

Тождество --- это утверждение о том, что два объекта неразличимы. $0\equiv 0$ --- простое тождество. $a\equiv a$ --- тоже простое тождество. Более сложное тождество: $a-a\equiv 0$.

$1=1$ - это равенство или тождество?

[OZH]

TOTAL писал(а):

$1=1$ - это равенство или тождество?

Дело в том, что всякое тождество --- это равенство. Когда мы говорим о тождестве, мы намекаем на тавтологию.

Добавлено спустя 3 минуты 23 секунды:

Например, равенство $1=0$ не является тождеством, потому что это равенство неверно. (Единица кольца не может совпадать с нулём кольца по определению. Как мне кажеться...)))

[TOTAL]

OZH писал(а):

TOTAL писал(а):

$1=1$ - это равенство или тождество?

Дело в том, что всякое тождество --- это равенство. Когда мы говорим о тождестве, мы намекаем на тавтологию.

Так равенство или тождество?
Верное равенство и тождество - это одно и то же? Всегда взаимозаменяемые понятия?

[Yarkin]

И зачем спорить? Вот четкий ответ:

bot писал(а):

Если их назначить уравнениями, то они таковыми и станут

Назначьте сторонами треугольника - "они таковыми и станут" и т. д.

[Профессор Снэйп]

Определение 1. Термом называется запись, образованная согласно следующим правилам:

1) если $x$ --- переменная, то $x$ --- терм;
2) если $c$ --- константный символ, то $c$ --- терм;
3) если $t_1, \ldots, t_n$ --- термы, а $f$ --- функциональный символ местности $n$, то $f(t_1, \ldots, t_n)$ --- терм;
4) других термов нет.

Можно сказать, что множество термов --- язык, порождённый некоторой (контекстно свободной) грамматикой.

Определение 2. Уравнением называется запись вида $t_1=t_2$, где $t_1$ и $t_2$ --- термы.

Такие записи, как $x+x=2x$, $x^2 = x+x$ и $0=0$ согласно этому определению --- термы.

[AGu]

Пошла "крутая логика".

Профессор Снэйп писал(а):

Такие записи, как $x+x=2x$, $x^2 = x+x$ и $0=0$ согласно этому определению --- термы.

Очевидная описка: не термы, а уравнения.

Ну что ж, издеваться -- так издеваться. Развлечемся уточнением понятий уравнения и его решения. Следуя традициям, под уравнением стоит понимать не просто формулу вида $t_1=t_2$, а пару $(t_1=t_2,\ \delta)$, где $\delta$ -- формула. В свою очередь, решить уравнение $(t_1=t_2,\ \delta)$ -- значит указать пару $(\sigma,\pi)$, где $\sigma$ -- формула, а $\pi$ -- доказательство формулы $\delta\Rightarrow(t_1=t_2\Leftrightarrow\sigma)$ в рассматриваемой теории. Ясно, что всякое уравнение $(t_1=t_2,\ \delta)$ можно решить, тупо указав формулу $\sigma := (t_1=t_2)$ и соответствующее тривиальное $\pi$. Поэтому на практике класс формул $\sigma$ явно или неявно сужается. Типичным примером такого сужения является класс формул вида $(x_1=t_1^1\ \&\ \cdots\ \&\ x_n=t_n^1)\ \lor\ \cdots\ \lor\ (x_1=t_1^m\ \&\ \cdots\ \&\ x_n=t_n^m)$, где $t_i^j$ -- замкнутые термы.

[Коша]

Цитата:

Верное равенство и тождество - это одно и то же? Всегда взаимозаменяемые понятия?

Действительно интересно. Получается тождество и равенство это одно и то же?

[Алексей К.]

Нет, не одно и тоже. Написав равенство $f(x)=0$, я могу иметь в виду и тождество $f(x)\equiv 0$ (т.е. для всех $x$ из обсуждаемой совокупности), и уравнение (найди-ка мне такой $x$, чтобы...), и определение, и проч.
Пися $f(x)\equiv 0$ или $\sin^2 x+\cos^2 x \equiv 1$, я резко сужаю контекст --- "для всех $x$ из обсуждаемой совокупности" или вообще "для всех иксов в мире".