ДУРЧП

[torn]

Найти общее решение $u\left( x,y\right)$ уравнения

$$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial u}{\partial y}\eqno(1)$$

Положим

$$\frac{\partial u}{\partial y}=v\left( x,y\right) \eqno(2)$$

(1) с учетом (2):

$$\frac{\partial v}{\partial y}=v\eqno(3)$$

в этом месте охота написать что-то вроде $\frac{\partial v}{v}=\partial y$, навесить интегралы и прийти к (5) но как я понимаю $\frac{\partial }{\partial }$ значок неразрывный и такая запись некорректна

$$v=f\left( x \right) e^y\eqno(5)$$

$$\frac{\partial u}{\partial y}=f\left( x \right) e^y\eqno(6)$$

$$\int \frac{\partial u}{\partial y}dy=\int f\left( x \right) e^y dy\eqno(7)$$

$$u= f\left( x \right) e^y + g\left( x \right)\eqno(8)$$

Как корректно перейти от (3) к (5)?

[warlock66613]

Если хочется навесить интегралы, их можно взять и навесить (поскольку при любом фиксированном $x$ мы имеем равенство двух функций одного переменного $y$):

$$v^{-1}\frac {\partial v} {\partial y} = 1,$$

$$\int v^{-1}\frac {\partial v} {\partial y} dy = \int dy.$$

-- 02.03.2018, 22:06 --

А если хочется "разорвать" $\frac \partial \partial$, то тоже можно, только нужно использовать вменяемые обзначения: $\dfrac {\partial v} {\partial y} = \dfrac {d_y v} {dy}$. Конечно, хорошо бы при этом понимать, что делаешь (в частности, зачем нужен и что означает $y$ в $d_y$).

[Red_Herring]

И где же у нас УЧП? Это ОДУ (причем тривиальное) с параметром $x$, просто "константы" будут зависеть от $x$

[thething]

torn в сообщении #1295218 писал(а):

Как корректно перейти от (3) к (5)?

Переписать как $\frac{dv}{dy}=v$, $v=v(x,y)$, но $x$ -- параметр (хотите, зафиксируйте его, а потом расфиксируйте), только не забудьте, что константа интегрирования тоже будет в общем случае зависеть от $x$