Функция аргумента пути

[thething]

vpb в сообщении #1294857 писал(а):

Всякие пути $\gamma$ обычно отнюдь не считаются гладкими

Ага. Считаются кусочно-гладкими. Обычно. По крайней мере вся содержательная часть ТФКП на них и построена.

vpb в сообщении #1294857 писал(а):

ТС на данном месте впал в ступор

Неудивительно, если от него требуется расписать именно то, что Вы описали в своем посте (с уважением говорю это), то это кошмар, а не учебная задача. И если это не давали на лекциях, то что тогда там дают.. Кстати, действительно стоило уточнить по какой программе занимается ТС, а то я тут расписываю для простых смертных, а вдруг там высокие материи)

vpb в сообщении #1294857 писал(а):

то, что написал thething, не проходит в принципе

Так уж и в принципе? Продолжаю утверждать, что "мой" способ доказательства того, что непрерывные ветви отличаются на $2\pi{k}$ -- простой, понятный и оптимальный. И без всяких там "склеек".

-- 28.02.2018, 13:19 --

А насчет построения непрерывной ветви, вот ТС начал приводить конкретный пример -- и это абсолютно логично для, опять же, учебной задачи (а далее, как ни крути и к интегралу придешь), а то, что расписал vpb по моему разумению тянет исключительно на лекционный материал. Просто мои методические мысли)

-- 28.02.2018, 13:42 --

(Оффтоп)

vpb, не сочтите за дерзость, я со всем уважением.. Методический вопрос: Вы теорему Коши доказываете при помощи формулы Грина?

[vpb]

vpb в сообщении #1294857 писал(а):

Nickspa
Если желаете получить дальнейшее вспомоществование (по пункту б), например), докажите самостоятельно аналогичное утверждение для многозначных функций на прямоугольнике. Рекомендую заглянуть в Б.В.Шабат, Введение в комплексный анализ, 3-е изд. (1985), т.1, пар.5, п.17, "Теорема Коши". Там есть картинка с квадратиками, наводящая на мысли.

Это я поторопился. Пожалуй, не обязательно такую вещь доказывать, хотя и можно. Проще так. Пусть есть две непрерывные с точностью до сдвига многозначные функции на отрезке $\Phi_1$ и $\Phi_2$, и пусть они различаются
в каждой точке не больше чем на $\varepsilon$ (уточните сами и сформулируйте, что это значит?). Тогда у них есть непрерывные ветви $f_1$ и $f_2$, с тем же свойством. Докажите сами, это задача более чем посильная. А отсюда уже пункт б) легко выводится.

[vpb]

thething в сообщении #1294865 писал(а):

Продолжаю утверждать, что "мой" способ доказательства того, что непрерывные ветви отличаются на $2\pi{k}$ -- простой, понятный и оптимальный

Я думаю, тут дело вот в чем. Вы мыслите в одной парадигме, а я в другой. Та, в которой Вы мыслите в данном случае --- она из 19 века. (Признаки этого налицо: (а) Требуется наличие гладкости, (б) дается не доказательство существования, а явное вычисление, со всякими специальными формулами и т.д.) И еще, Вы неявно и незаметно уже считаете, что угол, глобально определенный на всем отрезке, есть, и сами этого не замечаете! Порочный круг, так сказать. У меня такое ощущение, во всяком случае. Тут, я думаю, аккуратное рассуждение можно провести, которое бы не только вычисляло функцию угла, но и доказывало бы, что та формула с интегралом --- это и есть тот самый угол. Но, сдается мне, все это аккуратно и последовательно проводить --- это будет еще дольше и трудней, чем то, что я написал.

thething в сообщении #1294865 писал(а):

Неудивительно, если от него требуется расписать именно то, что Вы описали в своем посте (с уважением говорю это), то это кошмар, а не учебная задача. И если это не давали на лекциях, то что тогда там дают.. Кстати, действительно стоило уточнить по какой программе занимается ТС

Ну, обычной учебной задачей это может быть вряд ли. Мне легче вообразить такой вариант, что руководитель сказал человеку, мол вот в таком-то тексте есть склизкое место, обдумай его хорошо,
потом придешь расскажешь. А может, это с НМУ или ВШЭ задача, вполне могут ... учудить.
(Nickspa, не расскажете, откуда задача?)

[thething]

vpb
Да я просто прикладник, вот и ответ)

vpb в сообщении #1294894 писал(а):

Тут, я думаю, аккуратное рассуждение можно провести, которое бы не только вычисляло функцию угла, но и доказывало бы, что та формула с интегралом --- это и есть тот самый угол

Я там в своем сообщении дал идею доказательства того, что это угол -- оно весьма простое. Единственное "скользкое" место -- это как раз то, что не дана кусочная гладкость (тут я затупил, т.к. смотрю с точки зрения дальнейших практических применений). Ну и условно скользкое место -- это то, что функция нам упала с потолка. Условно потому, что если подумать, то не так уж и с потолка, и связь с арктангенсом налицо.

Конечно, судя по тому, что за методичку привел в пример ТС, то его интересует как раз Ваше доказательство.

[vpb]

thething
Ну я так и понял, что Вы ближе к естественным наукам...

thething в сообщении #1294865 писал(а):

Методический вопрос: Вы теорему Коши доказываете при помощи формулы Грина?

Да мне ТФКП вообще преподавать не доводилось, честно говоря. А если бы довелось, через Грина вряд ли. Сначала про треугольник, а потом, в зависимости от студентов: если техническим --- то приблизить контур интегрирования ломаной, а потом поводить руками в воздухе, дескать, так и для произвольного непрерывного контура; а если математикам, то "по честному", как в Шабате.

[Nickspa]

thething в сообщении #1294620 писал(а):

В вашем решении п. б) меня снова смущает то, что Вы никак не используете формулу ветви (хотя задачи взаимосвязаны) и не используете условие
вне множества $[\gamma]:=\left\lbrace\gamma(t):t\in[0, 1]\right\rbrace$

Вроде, условие всё-таки использую. Ведь если $a$ принадлежит носителю пути, то при сдвиге на $a$ новый путь будет проходить через ноль, а значит $\Delta_{(\gamma-a)}$ в этой точке не определён. По поводу ветви, то конкретный вид её не использую, но использую, что моя функция распадается на непрерывные ветви, что в а) и надо было доказать.

-- 02.03.2018, 00:05 --

thething в сообщении #1294865 писал(а):

если от него требуется расписать именно то, что Вы описали в своем посте

Похоже, это именно то, что мне и нужно.

-- 02.03.2018, 00:07 --

Thething и vpb большое спасибо за помощь! Вроде, понимание на каком-то уровне пришло.

-- 02.03.2018, 00:11 --

vpb в сообщении #1294894 писал(а):

А может, это с НМУ или ВШЭ задача, вполне могут ... учудить.
(Nickspa, не расскажете, откуда задача?)

Всё верно, задача взята с листа НМУ, после первой лекции Комплексного анализа.
Не могли бы пояснить, почему задача "не учебная" и в чём "чудачество" НМУ и ВШЭ. Очень интересно Ваше мнение. И thething тоже.

[thething]

Потому что теорема о существовании непрерывной ветви аргумента -- это глобальная теорема, и она должна даваться в лекционном курсе. Учебной же задачей будет -- привести конкретный пример(ы) такой ветви с подробным обоснованием, почему этот пример подходит.
Если же эту теорему дать на самостоятельное доказательство, то единственное, чему это научит -- это подглядеть в учебник, списать доказательство. Редкий (да чего уж там, практически стопроцентно -- никакой) студент самостоятельно это доказательство не проведет, это с опытом приходит, причем опытом именно преподавания. Повторюсь, я не знаю, как устроен курс именно у Вас, но логично было бы так, как я описал. В противном случае, а зачем нам вообще преподаватель, который не дает на лекциях основополагающие теоремы, а дает их в качестве учебных задач.
Ваше решение п. а и б. -- это такое "фигаро тут -- фигаро там". Если Вы сперва берете конкретную формулу, то ее и используйте далее. Если же хотите второй пункт в общем виде -- то извольте и первый пункт доказать в общем виде.

[vpb]

Nickspa
Эта задача не учебная вот почему.

В учебной задаче требуется что-нибудь доказать. Точнее, чаще всего вообще просто требуется что-то посчитать, гораздо реже --- что-либо доказать. А в этой задаче еще и не сразу понятно, что доказывать, и в чем вообще состоит задача, потому что само утверждение кажется наглядно очевидным. То есть сначала надо собственно правильно поставить задачу, а потом доказывать. Вы же еще в самом начале, вероятно, видели, что ситуация такая: "мы понимаем, что чего-то не понимаем, но чего именно не понимаем, пока не понимаем". Тут надо не просто доказать
утверждение, но предварительно еще и дать определение, сформировать понятие (может вам какие-то относящиеся к делу определения давали на лекции, но Вы об этом ничего не написали). А это дело гораздо более трудное.

Может быть, эту задачу способный студент и может решить за несколько часов сосредоточенных размышлений, а может и за несколько дней. Одно точно: что такое решение требует неординарных способностей и определенной зрелости. Короче, если эта задача и учебная, то весьма повышенной трудности (зато если её как следует переварить, очень поучительная!). Тут, так сказать, головоломка состоит из слишком многих кусочков.

Ну, а чудачество НМУ/ВШЭ как раз в том и состоит, что они переоценивают степень зрелости и способностей студентов. Впрочем, кое-кто, возможно, и может ее решить. Я бы в то время, когда обычно изучают ТФКП, на втором курсе то есть, не смог. А может и смог бы, если бы подумал. Только у меня в то время привычки думать над одной задачей по несколько дней не было.

-- 05.03.2018, 11:52 --

thething в сообщении #1295121 писал(а):

Потому что теорема о существовании непрерывной ветви аргумента -- это глобальная теорема, и она должна даваться в лекционном курсе. Учебной же задачей будет -- привести конкретный пример(ы) такой ветви с подробным обоснованием, почему этот пример подходит.
Если же эту теорему дать на самостоятельное доказательство, то единственное, чему это научит -- это подглядеть в учебник, списать доказательство. Редкий (да чего уж там, практически стопроцентно -- никакой) студент самостоятельно это доказательство не проведет, это с опытом приходит, причем опытом именно преподавания. Повторюсь, я не знаю, как устроен курс именно у Вас, но логично было бы так, как я описал. В противном случае, а зачем нам вообще преподаватель, который не дает на лекциях основополагающие теоремы, а дает их в качестве учебных задач.

thething
Все же я считаю, что это не фундаментальная теорема, а сложная учебная задача (а утверждение как таковое легко доказывается после того, как "пройдено" аналитическое продолжение; но в данный момент постановка вопроса в другой плоскости). Действительно весьма сложная, редкий студент решит, но не катастрофически сложная. Давать ее на лекции особого смысла не имеет, т.к. при преподавании ТФКП многие топологические факты принимаются как очевидные (как я уже писал выше). Зато если студент ее решит или хотя бы достаточно времени голову поломает, то узнает много для себя полезного.

-- 05.03.2018, 11:58 --

Короче, резюмируем так: задача учебная, но, так сказать, на верхнем пределе.

[thething]

vpb
Скажем так, все зависит от курса. У меня было в такой последовательности: определение многозначной функции, ветви и потом сразу эта теорема, о которой быстро забыли и перешли на конкретные формулы. Т.е. это был такой новый объект, с которым вообще непонятно что делать, пока не покажут хотя бы, с чего начать. А начинать-то особо и не с чего.

vpb в сообщении #1295506 писал(а):

Я бы в то время, когда обычно изучают ТФКП, на втором курсе то есть, не смог.

Я бы точно не смог) Я понимал все эти вещи с эпсилон-дельтами, окрестностями и т.д. только после объяснения преподавателем. Сам бы до такого ни в жизнь не додумался.

[Slav-27]

thething в сообщении #1295511 писал(а):

Я понимал все эти вещи с эпсилон-дельтами, окрестностями и т.д. только после объяснения преподавателем. Сам бы до такого ни в жизнь не додумался.

Эйлер тоже не додумался.