Закон Гука как некое произведение тензоров одного ранга

[Michaele]

1) В 1-мерном случае тензоры напряжений и деформаций есть матрицы 1х1. По з-ну Гука единственные компоненты этих матриц пропорциональны. Т.е. эти тензоры пропорциональны: тензор напряжений есть произведение модуля упругости на тензор деформаций.

2) В 2- и 3-мерном случаях для записи з-на Гука принята "нотация Фойгта", вводящая уже новые объекты (не тензоры) — матрицы-столбцы: матрица-столбец напряжений есть произведение квадратной матрицы упругости на матрицу-столбец деформаций.

3) Вопрос: придуман ли такой тензор и такое специальное умножение, что, умножая нужным способом этот тензор на тензор деформаций, мы получаем тензор напряжений, причём, все 3 тензора — одного ранга (хотя бы для изотроиного материала!)?

[пианист]

И напряжение, и деформация тензоры.
Т.е. типа $\sigma_{ij} = \Sigma_k c_{ik}\varepsilon_{kj}$? А в чем смысл такой записи (и вообще вопроса)?

[statistonline]

Здесь, Ваша глава 3, разделы 3.1, 3.2

[Red_Herring]

Следует помнить, что тензоры это не просто массивы (величин), но это массивы, преобразующиеся особым образом при изменении систем координат. И тензоры разных рангов преобразуются разным образом (даже при вращениях). Можно придумать разные нотации, только участвовать в них будут именно массивы (arrays), но никак не тензоры.

А иначе любой spreadsheet тензором назвать можно. "Распишитесь в тензоре на заролату!"

[amon]

Вопрос не очень понятен, поэтому отвечу на тот, ответ на который мне известен. Закон Гука - один из ряда примитивных "законов", в основе которых простое предположение. Если воздействие мало, то отклик системы на такое воздействие линеен. Так устроены закон Ома, закон теплопроводности и куча подобных "законов". Это значит, на примере закона Гука, что воздействие (допустим, деформация тела) и отклик (возникающие напряжения) связаны неким линейным оператором. Если среда однородна, то такой оператор - тензор 4-го ранга ($E_{iklm}$ из формулы 3.8 по Вашей книге). Из общих соображений тензоры деформации и напряжения симметричны и имеют в общем случае всего шесть независимых компонент. Нотация Фойгта использует это обстоятельство, и записывает линейную связь только для независимых компонент.
Тензор упругих констант $E_{iklm}$ для симметричных сред тоже имеет небольшое число независимых компонент - две для изотропной среды, три для кубического кристалла и т.п. Поэтому общую связь $\sigma_{ik}=E_{iklm}\varepsilon_{lm}$ можно существенно упростить, причем разными способами. Интересно, я на Ваш вопрос отвечал, или так токовал?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: вопрос точно не дискуссионный и в большей степени физический, нежели математический.