Равномерная непрерывность и сходимость (Давидович)

[irod]

thething
принимаю Вашу критику, спасибо.

thething в сообщении #1293430 писал(а):

Зря Вы не включили в свой список основных задач задачу 3. Думаю, без нее Вам будет дальше тяжко, в тех местах, где потребуется равномерная непрерывность.

Ок, я подумаю над ней тоже.

-- 27.02.2018, 14:20 --

Есть вопросы по одной из следующих задач.

Задача 8.
Пусть функции $f_n$ и $f$ определены на множестве $E$ и непрерывны. Предположим, что $\forall x\in E\ \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ (последовательность $(f_n)$ сходится к $f$ поточечно). Обязательно ли $\lim\limits_{n\to\infty}f_n=f$, если а) $E=\mathbb{R}$; б) $E=[0,1]$?

Сначала общие размышления.
Сравним развернутые определения поточечной и равномерной сходимости, записанные с помощью кванторов.
Поточечная:

$$ \forall x\in E\ \forall\varepsilon>0\ \exists k=k(x,\varepsilon)\in\mathbb{N}\ \forall n>k\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon. $$

Равномерная:

$$ \forall\varepsilon>0\ \exists k=k(\varepsilon)\in\mathbb{N}\ \forall n>k\ \forall x\in E\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon. $$

Глядя на них приходит на ум следующая идея: надо рассмотреть разные последовательности иксов из $E$ и соответствующие последовательности $k(x,\varepsilon)$ из определения поточечной сходимости. Если можно подобрать неограниченную последовательность $k$, то наибольшего $k$ в ней нет, значит определение равномерной сходимости не может быть выполнено.
Ниже я попробовал сделать так для пункта а).
Пусть $(a_m)$ -- последовательность точек такая, что $\forall\varepsilon>0\ k(a_{m+1},\varepsilon)>k(a_m,\varepsilon)$ в определении поточечной сходимости $(f_n)$ к $f$. Тогда последовательность $(k(a_m,\varepsilon))$ стремится к бесконечности, и следовательно наибольшего $k(a_m,\varepsilon)$ не существует, т.е.

$$ \forall k\in\mathbb{N}\ \exists n>k\ \exists x\in\mathbb{R}\ |f_n(x)-f(x)|\geq\varepsilon, $$

что означает отрицание определения равномерной сходимости.
В этом отрывке доказательства явно чего-то не хватает, только не могу пока понять чего именно. Подозреваю, тут надо использовать ограниченность непрерывных функций на отрезке и их возможную неограниченность на $\mathbb{R}$.

Еще у меня есть такие размышления.
Возьмем произвольную точку $a\in E$ и произвольный $\varepsilon>0$.
По определению непрерывности в точке, для любого $n$ выполнено

$$ \exists\delta(\varepsilon)>0\ \forall x\in U_\delta(a)\ (|f_n(x)-f_n(a)|<\varepsilon/3)\land (|f(x)-f(a)|<\varepsilon/3).(1) $$

По условию (определению поточечной сходимости),

$$ \exists k(a,\varepsilon)\in\mathbb{N}\ \forall n>k\ |f_n(a)-f(a)|<\varepsilon/3.(2) $$

Из (1) и (2) следует, что

$$ \forall n>k(a,\varepsilon)\ \forall x\in U_\delta(a)\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.(3) $$

Пока не придумал, что с этим дальше делать.

[thething]

Думаю, тут надо тоже примеры поискать. Навскидку для отрезка $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}$. Проверьте, к чему сходится поточечно, есть ли равномерная? Если нет, то из-за чего это происходит (подсказка - "горб"). Ну и подумайте, можно ли этот случай применить ко всей прямой?

-- 27.02.2018, 17:12 --

Вообще, немного проанализировав задачи из сборника, я пришел к выводу, что во-первых, уровень там далеко не детский, а во-вторых, если бы утверждение было верным, его бы непременно попросили доказать. Поэтому сложилось такое впечатление, что, если вопрос "доказать" не стоит, то вернее всего искать подтверждающие или опровергающие примеры. Умение приводить примеры -- это крайне полезная способность для понимания материала.

(Оффтоп)

Кроме того, есть теорема Дини, которая требует вдобавок к перечисленным в задаче условиям еще условие монотонности)) потому я так умно пример начал предлагать))

[thething]

В качестве несложного упражнения попробуйте доказать отсутствие равномерной непрерывности в примере с параболой при помощи подходящего примера.