Равномерная непрерывность и сходимость (Давидович)

[irod]

Продолжаю прорешивать задачи из книжки Давидовича и ко http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf.
В этой теме - листок 17.

Начиная с этого листка я решил изменить свой подход. Предыдущие листки я делал очень долго (по 2-3 месяца), и мое прохождение этого курса затянулось. Теперь я буду делать не все задачи подряд, а выборочно, только самые важные для понимания (по вашим рекомендациям). Я также буду меньше внимания уделять стилистике своих доказательств, чтобы не тратить на это время. Прошу от форумчан указывать мне только на серьезные ошибки и пробелы в доказательствах, и не сильно обращать внимание на второстепенные недочеты.

По итогам ЛС-общения с одним заслуженным участником этого форума по поводу этого листка я беру из него следующие задачи: 1.в, 1.г, 2, 4, 5, 8 и одну на выбор из 9* и 10*.


Определение 1.
Функция $f:M\to\mathbb{R}$ называется равномерно непрерывной, если для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$, для которого при любых $x_1,x_2\in M$, таких что $|x_1-x_2|<\delta$, выполняется условие $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$.


Задача 1.
Являются ли следующие функции равномерно непрерывными:

в) $f:[0+\infty[\to\mathbb{R},f(x)=\sqrt{x}$

Неожиданно я застопорился уже на этой первой задаче.
Для начала выпишем отрицание определения равномерной непрерывности:

$$ \neg\left(\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x_1,x_2\in M\ |x_1-x_2|<\delta\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\right) \Leftrightarrow $$

$$ \exists\varepsilon>0\ \forall\delta>0\ \exists x_1,x_2\in M\ (|x_1-x_2|<\delta)\land (|f(x_1)-f(x_2)|\geq\varepsilon). $$

Подозреваю, что $\sqrt{x}$ не является равномерно непрерывной, но затрудняюсь это показать строго. Подозреваю, надо брать иксы с интервала $]0,1[$. Понятно, что надо использовать разность квадратов $|x_1-x_2|=|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}||\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}|$. Уже убил кучу времени на эту задачу, буду благодарен если покажете мне как это правильно и кратко доказывать.

г) $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=x^2$

Ответ: нет.
Пусть $\varepsilon>0$ и $\delta>0$ -- произвольные числа. Возьмем $x_1,x_2$ такие, что $|x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}$ и $|x_1+x_2|\geq\frac{2\varepsilon}{\delta}$. Тогда $|x_1^2-x_2^2|=|x_1-x_2||x_1+x_2|\geq\frac{\delta}{2}\cdot\frac{2\varepsilon}{\delta}=\varepsilon$.


Задача 2.
Верно ли, что равномерно непрерывная функция непрерывна?

Ответ.
Да. Из определения равномерной непрерывности следует определение непрерывности, т.к. $|x_1-x_2|<\delta$ эквивалентно принадлежности $x_1,x_2$ $\delta/2$-окрестности некоторой точки, и аналогично $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$ эквивалентно принадлежности $f(x_1),f(x_2)$ $\varepsilon/2$-окрестности некоторой точки.


Задача 4.
Доказать, что утверждение задачи 3 неверно для интервала (Задача 3. Непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна).

Доказательство.
Функция $f(x)=\frac{1}{|x-b|}$ непрерывна на $]a,b[$ и уходит на бесконечность при стремлении $x$ к $b$ слева.
Задавшись фиксированной разностью $|x_1-x_2|$ и сдвигая оба икса на одинаковое расстояние все ближе к $b$ слева, мы тем самым будем неограниченно увеличивать разность $|f(x_1)-f(x_2)|$. Т.е. разность значений $f$ зависит не только от разницы соответствующих аргументов, но и от значений аргументов. Это противоречит определению равномерной непрерывности.


Задача 5.
Пусть $f$ и $g$ — равномерно непрерывные функции на $\mathbb{R}$. Верно ли, что функции $f+g$ и $fg$ равномерно непрерывны?

Ответ.

$f+g$ -- да.
По условию, для любого $\varepsilon>0$ существуют $\delta_1,\delta_2>0$ такие, что для любых $x_1,x_2$ из $|x_1-x_2|<\min(\delta_1,\delta_2)$ следует $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}$ и $|g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2}$.
С применением неравенства треугольника,

$$|(f+g)(x_1)-(f+g)(x_2)|=|f(x_1)-f(x_2)+g(x_1)-g(x_2)|\leq $$

$$ \leq|f(x_1)-f(x_2)|+|g(x_1)-g(x_2)|<\varepsilon, $$

т.е. определение равномерной непрерывности выполнено.

$fg$ -- нет.
Контрпример: пусть $f(x)=g(x)=x$, тогда $(fg)(x)=x^2$ -- не является равномерно непрерывной (задача 1.г).

[thething]

Корень равномерно непрерывен на отрезке $[0,1]$ по теореме Кантора, а на множестве $[1,+\infty)$ корень равномерно непрерывен, что следует из написанной Вами формулы для разности квадратов. Остается доказать, равномерную непрерывность на всем исходном множестве. Думаю, это сумеете сделать?

[grizzly]

thething в сообщении #1293411 писал(а):

Корень равномерно непрерывен на отрезке $[0,1]$ по теореме Кантора

Не было такой теоремы. Это хитрый курс для 9-го класса спец.школ (именно 57-й, если знаете) и самое интересное здесь -- решить имеющимися знаниями без подглядывания :)

[thething]

grizzly в сообщении #1293413 писал(а):

Не было такой теоремы. Это хитрый курс для 9-го класса спец.школ (именно 57-й, если знаете) и самое интересное здесь -- решить имеющимися знаниями без подглядывания :)

Эм... неужели надо самостоятельно догадаться и провести доказательство, аналогичное теореме Кантора?

-- 20.02.2018, 17:08 --

Ну хотя бы пусть ТС знает, что он неправ насчет отсутствия равномерной непрерывности))

[grizzly]

thething в сообщении #1293414 писал(а):

Эм... неужели надо самостоятельно догадаться и провести доказательство, аналогичное теореме Кантора?

Думаю, нет. Учебник писали хорошие и опытные учителя. Нужно, по идее, работать по определению с конкретной функцией.

-- 20.02.2018, 15:12 --

thething в сообщении #1293414 писал(а):

Ну хотя бы пусть ТС знает, что он неправ насчет отсутствия равномерной непрерывности

Да, это важно и это хорошая (и нужная) в данном случае подсказка.

[thething]

Посмотрел список задач и там теорема Кантора как раз идет под номером 3. Мне кажется на этих примерах как раз должны отрабатываться пути к теореме Кантора. Можно ли на данном этапе пользоваться леммами Бореля или Больцано-Вейерштрасса?

[irod]

Спасибо за советы!

thething в сообщении #1293417 писал(а):

Можно ли на данном этапе пользоваться леммами Бореля или Больцано-Вейерштрасса?

Я таких слов пока не знаю

[thething]

Лемма Больцано-Вейерштрасса: ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность
Лемма Бореля: из любой системы интервалов, покрывающих отрезок, можно выбрать конечное число интервалов, по-прежнему покрывающих отрезок

[irod]

thething в сообщении #1293420 писал(а):

Лемма Больцано-Вейерштрасса: ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность

Такую задачу я доказывал (не знал что оно так называется).

thething в сообщении #1293420 писал(а):

Лемма Бореля: из любой системы интервалов, покрывающих отрезок, можно выбрать конечное число интервалов, по-прежнему покрывающих отрезок

Такого не было.

[demolishka]

Про корень. Доказывайте равномерную непрерывность на $[0,1]$ от противного. Подсказка: если $|\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}}| \geq \varepsilon$, то $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}} \geq ?$ Вернее, даже от противного не надо, если разберетесь с подсказкой.

[deep blue]

thething в сообщении #1293414 писал(а):

Эм... неужели надо самостоятельно догадаться и провести доказательство, аналогичное теореме Кантора?

Так вроде там и доказывать особо нечего, школьник справится.
Я использую только лемму Больцано, без Бореля. Не знаю разрешено ли тут изложить эти пять строчек доказательства?

[grizzly]

deep blue в сообщении #1293428 писал(а):

Не знаю разрешено ли тут изложить эти пять строчек доказательства?

Нет, конечно. Ну, может, после того, как ТС приведёт своё доказательство.

[thething]

deep blue
Пока что не стОит, тем более выше была дана хорошая подсказка по данному конкретному примеру.
irod
Зря Вы не включили в свой список основных задач задачу 3. Думаю, без нее Вам будет дальше тяжко, в тех местах, где потребуется равномерная непрерывность.

[irod]

demolishka в сообщении #1293424 писал(а):

Про корень. Доказывайте равномерную непрерывность на $[0,1]$ от противного. Подсказка: если $|\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}}| \geq \varepsilon$, то $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}} \geq ?$

Тогда $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\geq\varepsilon$ и, следовательно, $|x_1-x_2|=|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})\geq\varepsilon^2$. Итак, для $\delta=\varepsilon^2$ не выполнено $(|x_1-x_2|<\delta)\land (|f(x_1)-f(x_2)|\geq\varepsilon)$, что доказывает равномерную непрерывность.

[thething]

irod в сообщении #1293391 писал(а):

Задача 4.
Доказать, что утверждение задачи 3 неверно для интервала (Задача 3. Непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна).

Мне не очень нравится Ваше доказательство, т.к. в нем слишком много слов и вот это

irod в сообщении #1293391 писал(а):

сдвигая оба икса на одинаковое расстояние все ближе к $b$ слева, мы тем самым будем неограниченно увеличивать разность $|f(x_1)-f(x_2)|$. Т.е. разность значений $f$ зависит не только от разницы соответствующих аргументов, но и от значений аргументов

как-то непонятно и не формализовано. Может быть, такие рассуждения на данном этапе допустимы. Но я бы посоветовал подходить строже.
Во-первых, почему не привести более "конкретный" пример: $f(x)=\frac{1}{x}$ на интервале $(0,1)$? Во-вторых, раз уж мы из постановки задачи знаем, что доказывать надо отрицание, то давайте подберем пару точек $x_n=\frac{1}{n}$, $y_n=\frac{1}{2n}$, разность которых будет меньше любого $\delta$, а значения функции будут отличаться сколь угодно сильно (уж как минимум на единицу).
P.S. Вы, конечно то же самое и описали, но только словами, а слова у математиков обычно доверия не вызывают, а вызывают вопросы почему".