Вариационное счисление

[pogulyat_vyshel]

Пусть мы ищем условный экстремум функционала

$$F(x)=\int_{t_1}^{t_2}L(t,x,\dot x)dt$$

в классе функций $x(t),\quad x(t_i)=t_i$, удовлетворяющих условию $K(x)=\int_{t_1}^{t_2}G(t,x,\dot x)dt=0$. Во всех учебниках написано, что если функция $\tilde x(t)$ является экстремалью данной задачи и не является экстремалью функционала $K$ то существует число $\lambda$ такое, что
функция $\tilde x$ является безусловным экстремумом задачи с лагранжианом $S=L+\lambda G$.

Мне непонятно условие "и не является экстремалью функционала...". По-моему, если функция $\tilde x$ является экстремалью функционала $K$ то она будет условным экстрмумом, поставленной выше задачи, тогда и только тогда, когда она будет безусловным экстремумом функционала $F$ или что тоже самое безусловным экстремумом функционала $S$ c $\lambda=0$ Что не так?

[thething]

А Вы доказательство этой теоремы видели? В нем четко указывается для чего нужно это условие.

-- 27.02.2018, 16:14 --

Кстати, Вы серьезно думаете, что экстремаль одного функционала должна автоматически быть и экстремалью другого? По-моему любой пример с двумя с потолка взятыми функционалами это опровергнет.. Ну, если сильно не стараться))

[pogulyat_vyshel]

Как обычно, больше всего шума создают школьники, специалисты молчат.
Объясню откуда вообще взялся этот вопрос. Вот ведь, что значит, что функция $\tilde x$ -- условный экестремум поставленной выше задачи? Это значит, что для любой пробной функции $h,\quad h(t_i)=0$ верна импликация $dK(\tilde x)h=0\Longrightarrow dF(\tilde x)h=0$. Функциональные пространства я пока не уточняю, все пока формально. Т.е. $\ker dK(\tilde x)\subset\ker dF(\tilde x)$. Из линейной алгебры известно, что это равносильно существованию константы $\lambda$ такой, что $dF(\tilde x)=\lambda dK(\tilde x)$. И все, никаких дополнительных условий! Или я что-то не понял?

[thething]

pogulyat_vyshel в сообщении #1294742 писал(а):

Как обычно, больше всего шума создают школьники, специалисты молчат.

Пока специалисты молчат, скажу лишь, что в задачах, в которых экстремаль должна давать строгий экстремум, условие, что она же -- не экстремаль второго интеграла -- необходимо. Простейший пример задачи о натяжении нити это подтвердит (длина нити должна быть больше, чем расстояние между точками, на которые она натянута, в этом случае центр ее тяжести находится ниже, чем при "экстремальной" длине).

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1294742 писал(а):

Вот ведь, что значит, что функция $\tilde x$ -- условный экстремум поставленной выше задачи?

Все таки меня учили (но может быть за эти годы из Министерства пришло новое указание), что экстремум--это максимум или минимум, и это понятие перекрывается, но не совпадает с понятием стационарной точки. Очевидно, минимум функции $f(x,y)=x$ при условии $x^3-y^2=0$   достигается в  $(0,0)$.

[pogulyat_vyshel]

спасибо