Закон противоречия в логике лишний?

[epros]

NikolayPrimachenko в сообщении #1294635 писал(а):

У Аристотель элементы множества всегда существуют.

Мы сейчас о классической логике говорили, а не об исторических исследованиях на тему "что думал Аристотель". Если исключить возможность говорить о несуществующих объектах, то не только классической, а никакой разумной логики не получится.

Я этот пример привёл для демонстрации того, что "методы" средневековой силлогистики легко приводят к логическим ошибкам. Силлогизмы с заключением о существовании требуют дополнительной посылки о существовании, о чём часто забывают просто потому, что это не предусмотрено "традиционной" формой силлогизма.

-- Вт фев 27, 2018 11:24:20 --

NikolayPrimachenko в сообщении #1294635 писал(а):

Но, правильно также и то, что если все они смертны, то и некоторые из них тоже должны быть смертными. Это просто ослабленное высказывание.

В классической логике это неверно. Из "все греки смертны" не следует "некоторые греки смертны". И "некоторые смертные - греки" - тоже не следует.

[Sicker]

Раз уж пошла такая пьянка...
epros
А может ли быть так, что если множество каких-то объектов пусто(скажем каких-то математических), то все равно можно построить непротиворечивую систему, состоящую из таких объектов? Вот скажем когда-то математики исследовали свойства функций, когда не оказалось, что класс таких функций пуст. Отсюда же не следует, что при дальнейшем исследовании таких функций возникнут противоречия?

epros в сообщении #1294649 писал(а):

Из "все греки смертны" не следует "некоторые греки смертны".

Почему не следует?

epros в сообщении #1294649 писал(а):

И "некоторые смертные - греки" - тоже не следует

Почему?

-- 27.02.2018, 13:39 --

epros в сообщении #1293155 писал(а):

Например, силлогизм Barbari (это - классическая формулировка):
Большая посылка: Все люди смертны.
Малая посылка: Все греки - люди.
Заключение: Некоторые греки смертны.

В итоге - ошибочное заключение. Потому что такое заключение можно получить только при дополнительной посылке, что греки существуют.

Почему? Разве посылки для своей формулировки требуют существования людей и греков?

[epros]

Sicker в сообщении #1294679 писал(а):

А может ли быть так, что если множество каких-то объектов пусто(скажем каких-то математических), то все равно можно построить непротиворечивую систему, состоящую из таких объектов?

Про свойства таких объектов можно что угодно говорить непротиворечиво.

Sicker в сообщении #1294679 писал(а):

Почему не следует?

Потому что если бы греков не существовало, все выводы о том, что все они смертны, всё равно остались бы в силе.

[Sicker]

epros в сообщении #1294721 писал(а):

Про свойства таких объектов можно что угодно говорить непротиворечиво.

А как же доказательства от противного? Ведь когда мы предполагаем существование каких-то объектов, то они могут оказаться несуществующими, а следовательно, мы может придти к противоречию, а может, как вы согласились, и не придти.
Не все ладно в датском королевстве (с)

epros в сообщении #1294721 писал(а):

Потому что если бы греков не существовало, все выводы о том, что все они смертны, всё равно остались бы в силе.

С чего бы это? И даже если так, то как же то, что всегда истинное утверждение является следствие любого, т.е. если $a$ - истинно, то $a\rightarrow (b\rightarrow a)$

[epros]

Sicker в сообщении #1294726 писал(а):

А как же доказательства от противного? Ведь когда мы предполагаем существование каких-то объектов, то они могут оказаться несуществующими, а следовательно, мы может придти к противоречию, а может, как вы согласились, и не придти.
Не все ладно в датском королевстве (с)

Это Вы к чему? Из $\nexists x~A(x)$ следует $\forall x~A(x) \to B(x)$. Можете подставлять любое свойство $B$.

Sicker в сообщении #1294726 писал(а):

И даже если так, то как же то, что всегда истинное утверждение является следствие любого, т.е. если $a$ - истинно, то $a\rightarrow (b\rightarrow a)$

А это к чему было сказано?

[Sicker]

epros
Я вас достану

epros в сообщении #1294740 писал(а):

Это Вы к чему? Из $\nexists x~A(x)$ следует $\forall x~A(x) \to B(x)$. Можете подставлять любое свойство $B$.

Докажите. Хорошо, вот вам пример, докажем, что не существует самого большого натурального числа. Пусть $a$ - самое большое натуральное число, прибавим к нему единицу, получим число, большее $a$, значит $a$ не самое большое число. чтд, верно? А вот и нет, если $a$ - самое большое натуральное число, то к нему нельзя прибавлять единицу, ибо оно уже не будет самым большим, т.е. мы сделаем ложным нашу посылку, которую мы используем для дальнейшего рассуждения.

epros в сообщении #1294740 писал(а):

А это к чему было сказано?

А это к вашему

epros в сообщении #1294721 писал(а):

Потому что если бы греков не существовало, все выводы о том, что все они смертны, всё равно остались бы в силе.

[dllzero]

Я не буду встревать в ваш спор, но всё-таки есть одна небольшая просьба, выполнение которой необходимо для вашего же взаимопонимания.
Пожалуйста, определите конкретно здесь то, что подразумевается под существованием. В этом нет ничего глубоко философского, так как знак "существование" имеет под собой яркий пример полисемии, и даже если кто-то кого-то понимает, исходя из контекста (например, контекста исчисления предикатов), то другие могут попросту не понять, что можно заметить тут.

Более всего здесь подойдут такие дефиниции (а они семантически разные):
1. Существовать — значит, быть значением квантифицируемой переменной;
2. Существовать — значит, иметь внеязыковой объектный референт, или денотат, либо иметь набор референтов, которые строго указывают на него как на диспозицию.

Скорее первое, чем второе. Может, ещё другие подойдут.

Можно для удобства ввести "математическую реальность", где существование будет означать необходимое реферирование понятием математического объекта и при этом будет доопределено, исходя из конкретной семантики (например, относительно пустых множеств - они существуют, но не содержат ни одного элемента). С большой уверенностью, хотя конкретно я этого не разбирал, такое можно определить и без этого введения (для удобства) какой-то другой реальности прямо из первой дефиниции.

Кроме того, не следует забывать, что в традиционной (той самой схоластической) логике, кроме стандартных атрибутивных суждений (условно имеющих вид "S is P"), есть ещё экзистенциальные ("S exist(s)"), где под существованием (обычно) понимается первая дефиниция. Экзистенциальные суждения в ряде разных моделей можно выразить через атрибутивные.

Если не указано других условий, то в традиционной логике считается, что все подразумеваемые объекты действительно существуют и, что, к сожалению, тоже опускается, хотя это нужно оговаривать отдельно, существуют в той или иной наличности (либо вторая дефиниция, либо "условная реальность" по типу математической), однако, если не указано, об этом приходится судить, исходя из контекста. Мол, если греки существуют как понятие (а это полагается стандартно, если в высказывании есть субъект "греки"), то здесь это понятие реферирует сущности, которые, исходя из предиката, в принципе могут иметь свойство смертности и его имеют всеобщно ("все греки смертны"). А если речь о фактах действительного мира, то под сущностями "греки" понимаются реальные греки, которых можно встретить в большей части в Греции, и об этом узнаётся, опять же, из контекста.

В общем, это действительно поле для неопределённости, но при споре об этом лучше самим не использовать неопределённые понятия.

[Sicker]

dllzero
Во, я о том же

[mihaild]

Sicker в сообщении #1294741 писал(а):

Докажите.

$$\neg (\forall x (A(x) \rightarrow B(x)))$$

$$\exists x \neg (A(x) \rightarrow B(x))$$

$$\exists x (A(x) \wedge \neg B(x))$$

$$\exists x A(x)$$

Ну и reduction ad absurdum.

Sicker в сообщении #1294741 писал(а):

А вот и нет, если $a$ - самое большое натуральное число, то к нему нельзя прибавлять единицу, ибо оно уже не будет самым большим, т.е. мы сделаем ложным нашу посылку, которую мы используем для дальнейшего рассуждения.

Что-то непонятное вы говорите. Наше предположение, из которого мы выводим противоречие - это $\forall x: x \leqslant a$. Для доказательства мы пользуемся правилом $\forall x P(x) \vdash P(t)$ (для случая $t = a+1$).

[Sicker]

mihaild в сообщении #1294749 писал(а):

Ну и reduction ad absurdum.

Последний переход непонятен. Ведь B может быть равно единице.

mihaild в сообщении #1294749 писал(а):

Для доказательства мы пользуемся правилом $\forall x P(x) \vdash P(t)$ (для случая $t = a+1$).

Что такое P и тот странный значок связки? Следует ложь?

-- 27.02.2018, 19:14 --

Ой, точнее непонятен переход где потерялся знак следствия.

-- 27.02.2018, 19:17 --

mihaild в сообщении #1294749 писал(а):

Наше предположение, из которого мы выводим противоречие - это $\forall x: x \leqslant a$.

Но ведь из ложного утверждения, что существует самое большое натуральное число можно вывести все что угодно, т.е. и то, что существует самое большое натуральное число, разве нет?

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1294774 писал(а):

Что такое <…> тот странный значок связки?

Выводимость. Откройте учебник.

[mihaild]

Sicker в сообщении #1294774 писал(а):

Что такое P и тот странный значок связки?

Выводимость.
Я правда тут наврал, это обычно считают аксиомой, а не правилом вывода: для любой формулы $P$ формула $\forall x P \rightarrow P(t/x)$ - аксиома.

Sicker в сообщении #1294774 писал(а):

Ой, точнее непонятен переход где потерялся знак следствия.

Ну, $\neg(p \rightarrow q) \rightarrow (p \wedge \neg q)$ - тавтология исчисления высказываний.

[Sicker]

mihaild в сообщении #1294781 писал(а):

Ну, $\neg(p \rightarrow q) \rightarrow (p \wedge \neg q)$ - тавтология исчисления высказываний.

Неверно, что из $2+2=4$ я завтра полечу на Марс, следовательно, я завтра не полечу на Марс, rly?

[arseniiv]

Sicker
Нарисуйте себе там где-нибудь таблицы истинности $\neg(p\to q)$ и $p\wedge\neg q$, а? С вами бывает интересно разговаривать, когда вы не начинаете не проверив настаивать на ерунде, считая, что правы.

-- Вт фев 27, 2018 21:45:43 --

Sicker в сообщении #1294784 писал(а):

Неверно, что из $2+2=4$ я завтра полечу на Марс, следовательно, я завтра не полечу на Марс, rly?

Если неверно, что из $2+2=4$ следует, что вы завтра полетите на Марс, значит, неверно, что вы завтра полетите на Марс, потому что следование из тождественно истинного высказывания эквивалентно тождественной истинности. Иначе говоря, из истины следует только истина.

[dllzero]

Sicker в сообщении #1294745 писал(а):

Во, я о том же

Я подразумевал то, что вы не поняли, что epros имел в виду под существованием, а сам epros не указал строго (или хотя бы чётче), что он имеет в виду, и отсутствие понимания контекста у различных пользователей (а понять epros в данном случае можно только при понимании контекста) потенциально может привести к тому, к чему привело в данном случае.