Спектр оператора

[Pyphagor]

Пусть дан $T:C[0;1] \rightarrow C[0;1]$
$Tx=t\int\limits_{0}^{t} x(s)ds$
Доказать или опровергнуть, что спектр состоит только лишь из одного $0$.

[Cervix]

Думаю, нет. (досчитывать заломало)
Ход решения - дифференцируете соотношение $Tx=\lambda x$ пару раз. Получаете диффур второго порядка с гран. условиями $x(0)=0\quad x'(0)=0$. В принципе он решается - попробуйте.

[nckg]

Дифференцировать не совсем хорошо, т.к. у нас известно лишь что $x(t)\in C[0,1]$. Но можно сделать в уравнении $Tx=\lambda x$ замену

$$\xi(t)=\int_0^t x(t) \, dt$$

, в результате которой получим задачу Коши для $\xi(t)$.

[AD]

nckg писал(а):

Дифференцировать не совсем хорошо, т.к. у нас известно лишь что $x(t)\in C[0,1]$.

Поскольку $x(s)\in C[0,1]$, то из $\lambda x(t)=t\int\limits_{0}^{t} x(s)ds$ следует, что $x(t)\in C^1[0,1]$. Продолжая в том же духе, получаем, что $x\in C^\infty$.

[nckg]

Согласен.
Но в любом случае, решать через замену $\xi(t)=\int_0^t x(t) \, dt$ на мой взгляд проще, чем дифф-ть.

[ewert]

Pyphagor писал(а):

Пусть дан $T:C[0;1] \rightarrow C[0;1]$
$Tx=t\int\limits_{0}^{t} x(s)ds$
Доказать или опровергнуть, что спектр состоит только лишь из одного $0$.

это -- оператор Вольтерра, а у них всегда спектр завсегда состоит только из нуля

[Bard]

Надо доказать существование ограниченной резольвенты

\[ R(\lambda ) = \left( {T - \lambda I} \right)^{ - 1} \]

оператора T , при

\[ \lambda \ne 0 \]

.
Одно из стандартных рассуждениЙ для интегральных операторов состоит в том, что выписывается ряд Неймана

\[ \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{\lambda ^n }}T^n } \]

и доказывается, что он сходится в операторной или сильной норме.
В оценках для итерированных ядер операторов Вольтерра

\[ {T^n } \]

в знаменателях возникают факториалы, что и позволяет доказывать сходимость ряда.