2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Спектр оператора
Сообщение24.06.2008, 20:20 
Пусть дан $T:C[0;1] \rightarrow C[0;1]$
$Tx=t\int\limits_{0}^{t} x(s)ds$
Доказать или опровергнуть, что спектр состоит только лишь из одного $0$.

 
 
 
 
Сообщение24.06.2008, 22:59 
Аватара пользователя
Думаю, нет. (досчитывать заломало)
Ход решения - дифференцируете соотношение $Tx=\lambda x$ пару раз. Получаете диффур второго порядка с гран. условиями $x(0)=0\quad x'(0)=0$. В принципе он решается - попробуйте.

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 10:29 
Дифференцировать не совсем хорошо, т.к. у нас известно лишь что $x(t)\in C[0,1]$. Но можно сделать в уравнении $Tx=\lambda x$ замену $$\xi(t)=\int_0^t x(t) \, dt$$, в результате которой получим задачу Коши для $\xi(t)$.

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 10:32 
nckg писал(а):
Дифференцировать не совсем хорошо, т.к. у нас известно лишь что $x(t)\in C[0,1]$.
Поскольку $x(s)\in C[0,1]$, то из $\lambda x(t)=t\int\limits_{0}^{t} x(s)ds$ следует, что $x(t)\in C^1[0,1]$. Продолжая в том же духе, получаем, что $x\in C^\infty$.

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 12:20 
Согласен.
Но в любом случае, решать через замену $\xi(t)=\int_0^t x(t) \, dt$ на мой взгляд проще, чем дифф-ть.

 
 
 
 Re: Спектр оператора
Сообщение25.06.2008, 17:51 
Pyphagor писал(а):
Пусть дан $T:C[0;1] \rightarrow C[0;1]$
$Tx=t\int\limits_{0}^{t} x(s)ds$
Доказать или опровергнуть, что спектр состоит только лишь из одного $0$.

это -- оператор Вольтерра, а у них всегда спектр завсегда состоит только из нуля

 
 
 
 
Сообщение25.06.2008, 19:19 
Надо доказать существование ограниченной резольвенты \[
R(\lambda ) = \left( {T - \lambda I} \right)^{ - 1} 
\]
оператора T , при \[
\lambda  \ne 0
\].
Одно из стандартных рассуждениЙ для интегральных операторов состоит в том, что выписывается ряд Неймана
\[
\sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{1}{{\lambda ^n }}T^n } 
\]
и доказывается, что он сходится в операторной или сильной норме.
В оценках для итерированных ядер операторов Вольтерра \[
{T^n }
\] в знаменателях возникают факториалы, что и позволяет доказывать сходимость ряда.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group