2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 И снова простые числа Мерсенна
Сообщение25.02.2018, 08:25 
Аватара пользователя


29/04/13
3573
Богородский
Нынче(вот уже почти два месяца) известно ровно $50$ простых чисел имени французского математика. Одна из старейших последовательностей A000043 отмечает юбилей, достигнутый трудом многих и многих участников проекта GIMPS.

Недавно случайно обнаружил, что среди простых чисел Мерсенна есть числа с простыми показателями $3, 5, 13, 31, 61, 127, 2203, ... $ , которые при проверке их с помощью теста Люка-Лемера дают в качестве последнего частного ровно $2$.

Пара примеров.

1. $p=5$; $M_5 = 2^5-1 = 31$

$4^2-2\equiv 14\mod 31$

$14^2-2\equiv 8\mod 31$

$8^2-2\equiv 0\mod 31$ и $\dfrac{8^2-2}{31}= 2$


2. $p=13$; $M_5 = 2^13-1 = 8191$

$4^2-2\equiv 14\mod 8191$

$14^2-2\equiv 194\mod 8191$

$194^2-2\equiv 4870\mod 8191$

...

$128^2-2\equiv 0\mod 8191$ и $\dfrac{128^2-2}{8191}= 2$

Вышеуказанная последовательность пока отсутствует в OEIS. Вопросы предлагаемые к обсуждению, возможно, больше подходят для ПР/Р.

Какие есть соображения насчёт этого свойства чисел Мерсенна? Я пока проверил частные только до показателя равного $2203$. Есть предположение, что такие двойки будут встречаться и дальше, причём с определённой регулярностью. Изучался ли этот вопрос и если изучался, то где можно прочитать об этом на русском?

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение25.02.2018, 13:55 
Аватара пользователя


29/04/13
3573
Богородский
Проверил до показателя $p=110503$ включительно. Поразительно, но PARI справляется даже с такими огромными числами.

Искомые числа продолжают часто встречаться. Номера подходящих простых чисел Мерсенна: $2,  3,  5,  8,  9, 12, 16, 19, 22, 24, 26, 28, 29, ....$

Остальные последние частные очень велики и почти всегда составляют более чем 0.99 от проверяемого простого числа Мерсенна.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение25.02.2018, 18:24 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5425
Yadryara в сообщении #1294238 писал(а):
Нынче(вот уже почти два месяца) известно ровно $50$ простых чисел имени французского математика. Одна из старейших последовательностей A000043 отмечает юбилей, достигнутый трудом многих и многих участников проекта GIMPS.

Недавно случайно обнаружил, что среди простых чисел Мерсенна есть числа с простыми показателями $3, 5, 13, 31, 61, 127, 2203, ... $ , которые при проверке их с помощью теста Люка-Лемера дают в качестве последнего частного ровно $2$.

Такие показатели соответствуют значениям +1 в A123271.

-- Sun Feb 25, 2018 10:27:19 --

maxal в сообщении #1294321 писал(а):
Искомые числа продолжают часто встречаться. Номера подходящих простых чисел Мерсенна: $2,  3,  5,  8,  9, 12, 16, 19, 22, 24, 26, 28, 29, ....$
Соответственно, можно продолжить дальше: $2, 3, 5, 8, 9, 12, 16, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 32, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45$

Имеет смысл добавить последовательность показателей (и комплементарную к ней) в OEIS.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение25.02.2018, 19:55 
Аватара пользователя


29/04/13
3573
Богородский
maxal, Благодарю.

maxal в сообщении #1294321 писал(а):
Имеет смысл добавить последовательность показателей (и комплементарную к ней) в OEIS.

Спасибо, но вряд ли стоит добавлять. Понятно, что сделанное наблюдение тривиально и $+1$ вроде бы ничем не лучше $-1$. Их ведь пока примерно поровну.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение26.02.2018, 05:12 


21/05/16
2490
Аделаида
maxal в сообщении #1294321 писал(а):
Такие показатели соответствуют значениям +1 в A123271.

А почему так?

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение26.02.2018, 07:14 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5425
kotenok gav, по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение26.02.2018, 10:12 


21/05/16
2490
Аделаида
Значит, я как-то не так понимаю эту последовательность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group