И снова простые числа Мерсенна

[Yadryara]

Нынче(вот уже почти два месяца) известно ровно $50$ простых чисел имени французского математика. Одна из старейших последовательностей A000043 отмечает юбилей, достигнутый трудом многих и многих участников проекта GIMPS.

Недавно случайно обнаружил, что среди простых чисел Мерсенна есть числа с простыми показателями $3, 5, 13, 31, 61, 127, 2203, ... $ , которые при проверке их с помощью теста Люка-Лемера дают в качестве последнего частного ровно $2$.

Пара примеров.

1. $p=5$; $M_5 = 2^5-1 = 31$

$4^2-2\equiv 14\mod 31$

$14^2-2\equiv 8\mod 31$

$8^2-2\equiv 0\mod 31$ и $\dfrac{8^2-2}{31}= 2$


2. $p=13$; $M_5 = 2^13-1 = 8191$

$4^2-2\equiv 14\mod 8191$

$14^2-2\equiv 194\mod 8191$

$194^2-2\equiv 4870\mod 8191$

...

$128^2-2\equiv 0\mod 8191$ и $\dfrac{128^2-2}{8191}= 2$

Вышеуказанная последовательность пока отсутствует в OEIS. Вопросы предлагаемые к обсуждению, возможно, больше подходят для ПР/Р.

Какие есть соображения насчёт этого свойства чисел Мерсенна? Я пока проверил частные только до показателя равного $2203$. Есть предположение, что такие двойки будут встречаться и дальше, причём с определённой регулярностью. Изучался ли этот вопрос и если изучался, то где можно прочитать об этом на русском?

[Yadryara]

Проверил до показателя $p=110503$ включительно. Поразительно, но PARI справляется даже с такими огромными числами.

Искомые числа продолжают часто встречаться. Номера подходящих простых чисел Мерсенна: $2, 3, 5, 8, 9, 12, 16, 19, 22, 24, 26, 28, 29, ....$

Остальные последние частные очень велики и почти всегда составляют более чем 0.99 от проверяемого простого числа Мерсенна.

[maxal]

Yadryara в сообщении #1294238 писал(а):

Нынче(вот уже почти два месяца) известно ровно $50$ простых чисел имени французского математика. Одна из старейших последовательностей A000043 отмечает юбилей, достигнутый трудом многих и многих участников проекта GIMPS.

Недавно случайно обнаружил, что среди простых чисел Мерсенна есть числа с простыми показателями $3, 5, 13, 31, 61, 127, 2203, ... $ , которые при проверке их с помощью теста Люка-Лемера дают в качестве последнего частного ровно $2$.

Такие показатели соответствуют значениям +1 в A123271.

-- Sun Feb 25, 2018 10:27:19 --

maxal в сообщении #1294321 писал(а):

Искомые числа продолжают часто встречаться. Номера подходящих простых чисел Мерсенна: $2, 3, 5, 8, 9, 12, 16, 19, 22, 24, 26, 28, 29, ....$

Соответственно, можно продолжить дальше: $2, 3, 5, 8, 9, 12, 16, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 32, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45$

Имеет смысл добавить последовательность показателей (и комплементарную к ней) в OEIS.

[Yadryara]

maxal, Благодарю.

maxal в сообщении #1294321 писал(а):

Имеет смысл добавить последовательность показателей (и комплементарную к ней) в OEIS.

Спасибо, но вряд ли стоит добавлять. Понятно, что сделанное наблюдение тривиально и $+1$ вроде бы ничем не лучше $-1$. Их ведь пока примерно поровну.

[kotenok gav]

maxal в сообщении #1294321 писал(а):

Такие показатели соответствуют значениям +1 в A123271.

А почему так?

[maxal]

kotenok gav, по определению.

[kotenok gav]

Значит, я как-то не так понимаю эту последовательность.