2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 И снова простые числа Мерсенна
Сообщение25.02.2018, 08:25 
Аватара пользователя


29/04/13
7131
Богородский
Нынче(вот уже почти два месяца) известно ровно $50$ простых чисел имени французского математика. Одна из старейших последовательностей A000043 отмечает юбилей, достигнутый трудом многих и многих участников проекта GIMPS.

Недавно случайно обнаружил, что среди простых чисел Мерсенна есть числа с простыми показателями $3, 5, 13, 31, 61, 127, 2203, ... $ , которые при проверке их с помощью теста Люка-Лемера дают в качестве последнего частного ровно $2$.

Пара примеров.

1. $p=5$; $M_5 = 2^5-1 = 31$

$4^2-2\equiv 14\mod 31$

$14^2-2\equiv 8\mod 31$

$8^2-2\equiv 0\mod 31$ и $\dfrac{8^2-2}{31}= 2$


2. $p=13$; $M_5 = 2^13-1 = 8191$

$4^2-2\equiv 14\mod 8191$

$14^2-2\equiv 194\mod 8191$

$194^2-2\equiv 4870\mod 8191$

...

$128^2-2\equiv 0\mod 8191$ и $\dfrac{128^2-2}{8191}= 2$

Вышеуказанная последовательность пока отсутствует в OEIS. Вопросы предлагаемые к обсуждению, возможно, больше подходят для ПР/Р.

Какие есть соображения насчёт этого свойства чисел Мерсенна? Я пока проверил частные только до показателя равного $2203$. Есть предположение, что такие двойки будут встречаться и дальше, причём с определённой регулярностью. Изучался ли этот вопрос и если изучался, то где можно прочитать об этом на русском?

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение25.02.2018, 13:55 
Аватара пользователя


29/04/13
7131
Богородский
Проверил до показателя $p=110503$ включительно. Поразительно, но PARI справляется даже с такими огромными числами.

Искомые числа продолжают часто встречаться. Номера подходящих простых чисел Мерсенна: $2,  3,  5,  8,  9, 12, 16, 19, 22, 24, 26, 28, 29, ....$

Остальные последние частные очень велики и почти всегда составляют более чем 0.99 от проверяемого простого числа Мерсенна.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение25.02.2018, 18:24 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Yadryara в сообщении #1294238 писал(а):
Нынче(вот уже почти два месяца) известно ровно $50$ простых чисел имени французского математика. Одна из старейших последовательностей A000043 отмечает юбилей, достигнутый трудом многих и многих участников проекта GIMPS.

Недавно случайно обнаружил, что среди простых чисел Мерсенна есть числа с простыми показателями $3, 5, 13, 31, 61, 127, 2203, ... $ , которые при проверке их с помощью теста Люка-Лемера дают в качестве последнего частного ровно $2$.

Такие показатели соответствуют значениям +1 в A123271.

-- Sun Feb 25, 2018 10:27:19 --

maxal в сообщении #1294321 писал(а):
Искомые числа продолжают часто встречаться. Номера подходящих простых чисел Мерсенна: $2,  3,  5,  8,  9, 12, 16, 19, 22, 24, 26, 28, 29, ....$
Соответственно, можно продолжить дальше: $2, 3, 5, 8, 9, 12, 16, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 32, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45$

Имеет смысл добавить последовательность показателей (и комплементарную к ней) в OEIS.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение25.02.2018, 19:55 
Аватара пользователя


29/04/13
7131
Богородский
maxal, Благодарю.

maxal в сообщении #1294321 писал(а):
Имеет смысл добавить последовательность показателей (и комплементарную к ней) в OEIS.

Спасибо, но вряд ли стоит добавлять. Понятно, что сделанное наблюдение тривиально и $+1$ вроде бы ничем не лучше $-1$. Их ведь пока примерно поровну.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение26.02.2018, 05:12 


21/05/16
4292
Аделаида
maxal в сообщении #1294321 писал(а):
Такие показатели соответствуют значениям +1 в A123271.

А почему так?

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение26.02.2018, 07:14 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
kotenok gav, по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова простые числа Мерсенна
Сообщение26.02.2018, 10:12 


21/05/16
4292
Аделаида
Значит, я как-то не так понимаю эту последовательность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group