Почему мы можем убрать модуль в решении ДУ?

[thething]

Конечно, являются, если их подставлять поотдельности

[Xaositect]

thething в сообщении #1294174 писал(а):

Конечно, являются, если их подставлять поотдельности

Нет, если целиком подставлять, тоже являются.
Пусть $y = \begin{cases} C_1 x^2, x \geq 0 \\ C_2 x^2, x< 0\end{cases}$. Производная $y' = \begin{cases} 2C_1 x, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ 2C_2 x, x < 0\end{cases}$. Производная существует и непрерывна на всей прямой, и на всей прямой выполняется равенство $xy' = 2y$. Значит, $y$ - это решение нашего ОДУ.

А дело все в том, что в нуле не выполняются условия теоремы единственности, поэтому продожить интегральную кривую можно как заблагорассудится.

[thething]

Xaositect
Повторюсь, я неявно полагаю, что мы находимся на связном множестве, поэтому с логарифмами таких особенностей не возникает.. Кроме того, как часто Вы встречаете в курсах дифуров запись решения в такой форме, через две константы? Это если и обговаривается, то один-два раза, потом про это благополучно "забывают", ибо опять же, связные множества..

[Xaositect]

thething в сообщении #1294181 писал(а):

Это если и обговаривается, то один-два раза, потом про это благополучно "забывают", ибо опять же, связные множества..

Это правда, но понимать эту деталь надо. Связность тут не причем, в моем примере все области связные. Запись с одной константой надо понимать примерно так: на любой области, в которой выполняются теоремы существования и единственности, общее решение представляется в таком виде.

[thething]

Да только беда в том, что определение общего решения дается задолго до теорем существования и единственности.. В виденных мною курсах. А про первообразную вроде бы сразу обговаривается -- "связное множество". Пример же ТС -- он явно из самых начальных.

[Twolka]

Xaositect в сообщении #1294172 писал(а):

А, например, общим решением уравнения $xy' = 2y$ будет $y = \begin{cases} C_1 x^2, x \geq 0 \\ C_2 x^2, x < 0 \end{cases}$.

Нет, я думаю, здесь решение будет всё-таки $y = Cx^2$
Могу объяснить почему: производная для $ C_1 $\ne$ C_2 $ в точке $x = 0$ не будет определена. (Теорема о необходимом и достаточном существовании производной)

Xaositect в сообщении #1294170 писал(а):

Twolka в сообщении #1294113 писал(а):

$\frac{y}{x} = \frac{x \cdot y'}{x}$

Если рассматривать это уравнение как уравнение на функцию в области $\mathbb R \setminus \{0\}$, то тут тоже будет две константы. Но так никто не делает, потому что несвязные области рассматривать не хочется. Это уравнение можно рассматривать либо на одном луче, а если его рассматривают на всей прямой, то в точке 0 предполагается какая-то непрерывность.

Т.е. я могу решать это ДУ в трёх разных видах?
1) Непрерывные лучи
2) Функции, прерывные в точке $x = 0$
3) Не совсем понятно, что это означает:

Цитата:

то в точке 0 предполагается какая-то непрерывность.

Значит ли это что рассматриваются непрерывные (вместе с производными) функции в точке $x = 0$? Но таких функций может и не существовать воовсе.

Xaositect в сообщении #1294172 писал(а):

Это все потому что $\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln |x| + \begin{cases} C_1, x > 0 \\ C_2, x < 0 \end{cases}$ а не просто $\ln |x| + C$.

А можно ссылочку на сие тайное знание? Просто здесь я не вижу смысла делить на $C_1$ и $C_2$ (да и нигде не видел такого).

-- 24.02.2018, 20:42 --

Но наконец-то всё начинает вставать на свои места в голове

[Someone]

Twolka в сообщении #1294150 писал(а):

Решением или интегралом дифференциального уравнения
называется всякая функция $ y = f (x) $, подстановка которой в
дифференциальное уравнение обращает дифференциальное
уравнение в тождество.

При этом функция и её производная (производные) должны быть определены на всей области определения функции.

У Вас несколько неполное определение решения дифференциального уравнения. Например, возьмём учебник

Н. М. Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. "Высшая школа", Москва, 1967.

В главе первой, § 1, пункт 2, читаем:

Цитата:

Функцию $y=y(x)$, определённую в интервале $(a,b)$, мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале, если…

И далее говорится, что производная $y'(x)$ должна существовать во всех точках интервала $(a,b)$, и также во всех точках этого интервала должно выполняться равенство

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y).\eqno(2)$$

В примечании поясняется, что вместо интервала $(a,b)$ могут рассматриваться также промежутки видов $[a,b)$, $(a,b]$, $[a,b]$, $(-\infty,b)$, $(-\infty,b]$, $(a,+\infty)$, $[a,+\infty)$, $(-\infty,+\infty)$, и что в концевой точке промежутка, если она входит в промежуток, под производной понимается соответствующая односторонняя производная.

Обращаю Ваше внимание на то, что решение обыкновенного дифференциального уравнения должно быть задано на связном множестве. Это необходимо для теорем существования и единственности.
Для Вашего уравнения, которое не определено при $x=0$,

Twolka в сообщении #1294150 писал(а):

$y = \begin{cases} C_1 x, x > 0 \\ C_2 x, x < 0\end{cases}$

не является решением. Это два отдельных, никак не связанных решения: одно — на промежутке $(-\infty,0)$, другое — на промежутке $(0,+\infty)$.

[Twolka]

Да, теперь всё понятно. Спасибо вам троим за убитое на меня время.

-- 24.02.2018, 21:27 --

Вся проблема была в том, что я не понимал, что решение должно рассматриваться на связном множестве.

-- 24.02.2018, 22:02 --

Twolka в сообщении #1294188 писал(а):

Xaositect в сообщении #1294172 писал(а):

А, например, общим решением уравнения $xy' = 2y$ будет $y = \begin{cases} C_1 x^2, x \geq 0 \\ C_2 x^2, x < 0 \end{cases}$.

Нет, я думаю, здесь решение будет всё-таки $y = Cx^2$
Могу объяснить почему: производная для $ C_1 $\ne$ C_2 $ в точке $x = 0$ не будет определена. (Теорема о необходимом и достаточном существовании производной)

Дополню немного, вот решение этого уравнения:
$x$\dfrac{dy}{dx}$ = 2y$
$ $\dfrac{dy}{y}$ = 2$\dfrac{dx}{x}$ $
$\ln|y| = \ln(x^2) + C_1$
$|y| = C_2x^2$; C_2 > 0
$$y = \begin{cases} C_2x^2, y > 0 \\ -C_3x^2, y < 0 \\ 0, y = 0; \\ \end{cases};C_2 > 0; C_3 > 0.$

(к $C_2$ я отнёс и решение $y = 0$)

Далее пытаемся склеить эти два решения в точке $y = 0$:
$$ \begin{cases} y_1 = C_2x^2; \\ y_2 = -C_3x^2; \\ y_1' = 2C_2x; \\ y_2' = -2C_3x; \\ \end{cases}

(правильнее в этой системе было бы написать пределы при $y \to 0$, как мне кажется)

Эта система эквивалентна выражению $C_2 = -C_3$, что не выполняется никогда (т.к. $C_2 > 0; C_3 > 0$)
Значит, склеить не получилось, т.е. нет функций, одновременно проходящих и в полуплоскости $y > 0$, и в полуплоскости $y < 0$;
Тогда остаётся заметить, что $C_2 $, $C_3$ и $0$ можно объединить в одну константу $C \in \mathbb{R}$
Следовательно, общим решением является $y = Cx^2$
Так что здесь только одна константа.