Почему мы можем убрать модуль в решении ДУ?

[Twolka]

Нет, я не про это. Набор прямых - это не все функции, которые являются решениями

-- 24.02.2018, 16:27 --

thething в сообщении #1294119 писал(а):

Twolka
Разве? $y'(0)=C$, ну или пусть будет $\pm{C_2}$

В 1 ДУ производная не определена, т.к. не выполняется необходимое и достаточное условие, т.е. правый предел (правая производная) не равен левому (левая производная)

-- 24.02.2018, 16:28 --

(Ну т.е там получается так, что отрицательное значение равно положительному)

[thething]

Эм.. теорему о существовании и единственности решения задачи Коши знаете? (пусть у Вас и не ЗК, но это легко поправимо).. Какие там еще могут быть решения?
Кстати вот это

Twolka в сообщении #1294120 писал(а):

Но $\pm{C_2}$ означает набор прямых..

не набор прямых, а набор значений, возможных угловых коэффициентов, из которых остается тот единственный, удовлетворяющий начальному условию.

-- 24.02.2018, 18:33 --

thething в сообщении #1294124 писал(а):

В 1 ДУ производная не определена, т.к. не выполняется необходимое и достаточное условие, т.е. правый предел (правая производная) не равен левому (левая производная)

Вы сперва выберите это $C$, а потом уже пределы ищите

[Twolka]

Хорошо, а почему я не могу взять кусочную функцию такого вида, как решение? (Для 2 ДУ)
$y = \begin{cases} C_1 x, x > 0 \\ C_2 x, x < 0\end{cases}$

-- 24.02.2018, 16:35 --

Обязательно должно быть единственное значение $C$ на всём промежутке?

[thething]

Почему не можете? Просто это записывается как $y=Cx$, $x\ne{0}$, а о знаках $C$ никто обычно не думает, т.к. дальше все равно начальные условия есть, или какие-то еще, из которых найдется единственное $C$.

[Twolka]

Нет, вы не поняли. $y = Cx$ означает, как я уже говорил, набор прямых.
Но я же говорю про решения в виде ломаных.

-- 24.02.2018, 16:44 --

[thething]

Twolka в сообщении #1294126 писал(а):

Обязательно должно быть единственное значение $C$ на всём промежутке?

На промежутке, не содержащем "плохих" точек, да.
Я Вас, если честно, не понимаю. Давайте Ваш пример: $\left\lvert{y}\right\rvert=C\left\lvert{x}\right\rvert$ и начальное условие $y(-1)=1$. Найдите частное решение, когда "модульный" вид и когда вид без модулей $y=Cx$. Никаких ломаных там и близко нет

[Twolka]

Ну.. если просто подставить в эти два уравнения начальные условия, то получится, что в первом случае $ C = -1$ (причём на полуплоскости $x < 0$; $y > 0$ ), а во втором - $ C = 1 $ (при любом $y$ и $x$)

-- 24.02.2018, 16:59 --

Что это нам даёт?

[thething]

В случае "через модули" решением будет $\left\lvert{y}\right\rvert=\left\lvert{x}\right\rvert$, а без них $y=-x$.
А не одно ли это и тоже? Кстати, зачем Вы пишете знаки $x$, если все знаки залезли в константу, которой мы переобозначаем?

-- 24.02.2018, 19:03 --

Я кажись понял Ваше заблуждение. Вот здесь

Twolka в сообщении #1294122 писал(а):

В 1 ДУ производная не определена, т.к. не выполняется необходимое и достаточное условие, т.е. правый предел (правая производная) не равен левому (левая производная)

Вы левую и правую производные берете от разных функций

-- 24.02.2018, 19:11 --

Ну и еще: уравнение $\left\lvert{y}\right\rvert=\left\lvert{x}\right\rvert$ эквивалентно уравнению $y=\pm{x}$ при любых знаках

[Twolka]

Но ведь мы и должны рассматривать производные от разных функций (точнее от функций в разных полуплоскостях)

-- 24.02.2018, 17:14 --

$y = \begin{cases} C_1 x, x > 0 \\ C_2 x, x < 0\end{cases}$
на $x > 0$ - одна константа, на $x < 0$ - другая

[thething]

Вы должны рассматривать производную только от одной функции, являющейся решением данной задачи, т.е. при фиксированном значении $C$.

[Twolka]

Так чтобы решить ДУ, мы должны раскрыть модуль, а это можно сделать только рассмотрев случаи, когда подмодульное выражение больше/меньше нуля.
Так мы получаем 4 решения для каждого случая. Решения c y > 0 и y < 0 можно объединить в одно (т.к. в первом случае $C > 0$ , a во втором - $C < 0$, к тому же $С = 0$ также является решением), а вот с $x$ так не прокатит

[thething]

Давайте последний совет, потому что я больше не знаю что сказать: не переобозначайте константы разными буквами (если хотите писать фигурные скобочки) а ставьте перед ними нужные знаки, с учетом того, что $C>0$.
Еще раз: у Вас, если раскрыть модули, получается $y=\pm{Cx}$ -- это не семейство ломаных, а семейство прямых. Например, при $C=1$ получится два уравнения $y=x$ и $y=-x$. Можете проверить, построив графики.

[Twolka]

Вот там вверху вы писали такую систему:
$y = \begin{cases} C x, x > 0 \\ -C x, x < 0\end{cases}$ $C > 0$

Но оне НЕ эквивалента этой:
$y = \begin{cases} C_1 x, x > 0 \\ C_2 x, x < 0\end{cases}$ $\forall C \in \mathbb{R}$

-- 24.02.2018, 17:42 --

Вот почему я не могу с вами согласиться

[thething]

Twolka в сообщении #1294139 писал(а):

Вот там вверху вы писали такую систему:
$y = \begin{cases} C x, x > 0 \\ -C x, x < 0\end{cases}$ $C > 0$

Но оне НЕ эквивалента этой:
$y = \begin{cases} C_1 x, x > 0 \\ C_2 x, x < 0\end{cases}$ $\forall C \in \mathbb{R}$

Я ее снес, потому что лень разбирать все случаи, там очевидно. Моя мысль была в том, чтобы Вы не переобозначали константы, а меняли только знак))

[Twolka]

thething в сообщении #1294138 писал(а):

Еще раз: у Вас, если раскрыть модули, получается $y=\pm{Cx}$ -- это не семейство ломаных, а семейство прямых. Например, при $C=1$ получится два уравнения $y=x$ и $y=-x$. Можете проверить, построив графики.

Вот, мы имеем право раскрывать так модуль только для того, чтобы обозначить множество точек на плоскости (по крайней мере я пришел к такому выводу)
Но семейство функций - это совсем другое дело. И то правило уже не работает.

-- 24.02.2018, 17:49 --

thething в сообщении #1294141 писал(а):

Я ее снес, потому что лень разбирать все случаи, там очевидно. Моя мысль была в том, чтобы Вы не переобозначали константы, а меняли только знак))

Вот в том-то и дело, что я не переобозначаю константы в данном случае. Это совершенно разные константы изначально.