Почему мы можем убрать модуль в решении ДУ?

[Twolka]

Дано уравнение:
$y = x \cdot y'$

Вот его решение:
$y \cdot dx = x \cdot dy (1)$
$\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} (2)$
$\ln|x| + C1 = \ln|y| (3)$
$C2 \cdot |x| = |y| (4)$
$C \cdot x = y (5)$

Итак, разве мы можем вот так просто избавиться от модуля (переход (4) в (5))?
Спасибо

[thething]

Вы же меняете константу. Подразумевается, что в одном случае она положительно, а во втором -- имеет произвольный знак

[Pphantom]

Twolka, на будущее... нижние индексы набираются так: $C_1$.

[Twolka]

Но мы же рассматриваем функции
Здесь получается, что они все являются прямыми (что правильно в принципе)
НО! Если бы функция была бы не определена в в точке $x = 0$?
Ведь и функции-модули вошли бы в решение, разве не так?

[thething]

Как определенность или неопределенность функции связана с ее знаком? Уточните свой вопрос, если хотите, то примером

[Twolka]

(Оффтоп)

Не нашел, честно говоря, как набирать индексы.
Есть ли код для них?

[thething]

Наведите курсор на формулу, всплывет подсказка

[Twolka]

Вот например, нужно было бы решить вот такое уравнение :
$\frac{y}{x} = \frac{x \cdot y'}{x}$

-- 24.02.2018, 16:03 --

Теперь нам не требуется непрерывность функции и её производной в точке $ x = 0$, а значит модули ( $y = C \cdot |x|$ ) также являются решением

[thething]

Twolka в сообщении #1294113 писал(а):

Вот например, нужно было бы решить вот такое уравнение :
$\frac{y}{x} = \frac{x \cdot y'}{x}$

Это то же самое уравнение, что и в начале. Давайте так: пусть $\frac{\left\lvert{y}\right\rvert}{\left\lvert{x}\right\rvert}=C_2$, откуда следует, что $\frac{y}{x}=\pm{C_2}$, вот это $\pm{C_2}$ мы и переобозначаем за $C$
Ну, исключительные случаи разберите отдельно

[Twolka]

Нет, это не то же самое уравнение. Это уравнение не определено в точке $x = 0$.

[Xaositect]

Формально, решением дифференциального уравнения должны быть дифференцируемая функция (в том числе в нуле), модули или решения вида $y = \begin{cases} C_1 x, x > 0 \\ C_2 x, x < 0\end{cases}$ отсекаются.

[Twolka]

Так вот, я про это и говорю, во втором уравнении решения такого вида не отсекаются.

-- 24.02.2018, 16:13 --

И тогда узнать, можно ли убрать модуль или нет, не так просто

-- 24.02.2018, 16:14 --

Или я что-то не так понимаю?

-- 24.02.2018, 16:16 --

Просто моя логика такова: нужно доказать, что те решения не подходят
В 1 уравнении всё просто: производная в точке $x = 0$ не определена
В 2 уравнении она и не обязана быть определённой, т.е. те решения подходят

[thething]

Twolka
Они и в исходном уравнении такого вида, т.е. там разные константы, хотите, пишите $\pm{C_2}$, потом начальные условия все расставят по местам

-- 24.02.2018, 18:18 --

thething в сообщении #1294119 писал(а):

В 1 уравнении всё просто: производная в точке $x = 0$ не определена

Разве? $y'(0)=C$, ну или пусть будет $\pm{C_2}$

Да и во втором Вашем примере все спокойно доопределяется по непрерывности в точку 0

[Twolka]

Но $\pm{C_2}$ означает набор прямых..

[thething]

Любой дифур имеет семейство решений, хотите что-то определенное, решайте задачу Коши или краевую или смешанную и т.д.