Простое уравнение: откуда лишний корень?

[Vladimir-80]

Попало мне в руки простенькое уравнение:
$\sqrt{x+4}+x-2=0$
Начал решать. Сначала перенёс пару слагаемых направо:
$\sqrt{x+4}=2-x$
Возвёл обе части равенства в квадрат:
$x+4=(2-x)^2$
$x+4=4-4x+x^2$
При этом не забываю про условие
$x+4\geqslant0$
Собираю уравнение
$0=x^2-4x-x+4-4$
что вроде бы эквивалентно
$x^2-4x-x+4-4=0$
$x^2-5x=0$
Выношу $x$ за скобки:
$x(x-5)=0$
Получаю два корня
$x_1=0$
$x_2=5$
Проверка показывает, что $x_2$ в исходное уравнение не подходит, этот корень лишний, хотя и отвечает условию $x+4\geqslant0$. Откуда он взялся? Где я что упустил? Подозреваю, что причина кроется в переносе $x^2$ со стороны в сторону, где-то в момент построения $x^2-4x-x+4-4=0$

[kotenok gav]

Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):

Откуда он взялся?

Из-за возведения уравнения в квадрат.

[thething]

Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):

При этом не забываю про условие
$x+4\geqslant0$

Еще не забудьте про условие $2-x\geqslant{0}$

[Xaositect]

Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):

При этом не забываю про условие
$x+4\geqslant0$

Про него как раз можно забыть, следующее уравнение уже говорит что оно квадрат.
А про $2 - x \geq 0$ забыли.

[Евгений Машеров]

А подставьте ложный корень в
$\sqrt{x+4}=x-2$
А потом возведите это уравнение в квадрат и помедитируйте над тем, что получилось...

[Vladimir-80]

thething в сообщении #1294097 писал(а):

Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):

При этом не забываю про условие
$x+4\geqslant0$

Еще не забудьте про условие $2-x\geqslant{0}$

Точно, ведь результат извлечения квадратного корня тоже должен быть неотрицательным!
Спасибо всем!

[thething]

не подкола ради

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1294100 писал(а):

А подставьте ложный корень в
$\sqrt{x+4}=x-2$
А потом возведите это уравнение в квадрат и помедитируйте над тем, что получилось...

Так и буддистом можно стать

[Vladimir-80]

Евгений Машеров в сообщении #1294100 писал(а):

А подставьте ложный корень в
$\sqrt{x+4}=x-2$
А потом возведите это уравнение в квадрат и помедитируйте над тем, что получилось...

Этот момент я тоже отметил. Только ведь при переносе слагаемых вправо их знаки меняются. Что ложным корнем оказалась пятёрка, а не другое число - не случайность, она как-то связана с уравнением, и связь эта где-то в возведении в квадрат и в умножениях на минус единицу сидит. Над этим действительно можно помедитировать.

[kotenok gav]

Vladimir-80 в сообщении #1294105 писал(а):

Что ложным корнем оказалась пятёрка, а не другое число - не случайность,

Так очевидно, что не случайность. Просто алгебраический корень равен плюс-минус арифмитический корень.

[Ascold]

Vladimir-80 в сообщении #1294105 писал(а):

Этот момент я тоже отметил. Только ведь при переносе слагаемых вправо их знаки меняются. Что ложным корнем оказалась пятёрка, а не другое число - не случайность, она как-то связана с уравнением, и связь эта где-то в возведении в квадрат и в умножениях на минус единицу сидит. Над этим действительно можно помедитировать.

Разные уравнения $f(x)=g(x)$ и $f(x)=-g(x)$ после возведения в квадрат дают одинаковое уравнение $f^2(x)=g^2(x).$ Чему равносильно это уравнение с квадратами?

[Vladimir-80]

Ascold в сообщении #1294178 писал(а):

Чему равносильно это уравнение с квадратами?

Вижу, это как раз мой случай. Оба равенства - и моё, и пример Евгения Машерова - дадут при возведении в квадрат одинаковый результат.

[Алексей К.]

Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):

Попало мне в руки простенькое уравнение:

Хочу добавить кое-что на случай, если бы оно попало Вам в руки на письменном экзамене.
Вы уже убедились, что возведение обеих частей в квадрат не есть эквивалентное преобразование уравнения.

Решая некое уравнение, Вы, возможно, домножаете обе части на 2, или на 0.1, или прибавляете к обеим частям 1, или... Найдя корни, Вы их на всякий случай проверяете, подставляя в уравнение. И делаете это только в черновичке!

Но ежели Вы позволили себе возведение обеих частей уравнения в квадрат, то эта проверка должна присутствовать в чистовике как необходимая часть решения задачи.

[Sinoid]

И еще, так, на всякий случай.

Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):

Откуда он взялся?

От уравнения

Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):

$x+4=(2-x)^2$

вы не обязательно перейдете к уравнению

Vladimir-80 в сообщении #1294095 писал(а):

$\sqrt{x+4}=2-x$

[Vladimir-80]

Итак, мои выводы из темы:
Как "шпаргалку" при решении квадратных уравнений нужно запомнить, что равенство $\sqrt{4}=2$ верно лишь отчасти. Правильно оно выглядит как $\sqrt{4}=\pm 2$ (Кстати, это правильный символ "плюс-минус", или тут нужен другой код?)

С учётом вышеизложенного, будет ли верным равенство $\sqrt{4}=-\sqrt{4}$ ? Или тут нужны оговорки и условия?

[thething]

Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):

Правильно оно выглядит как $\sqrt{4}=\pm 2$

Чиво?

Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):

будет ли верным равенство $\sqrt{4}=-\sqrt{4}$ ?

Чиво? Хм, допустим, что верно, тогда $2\sqrt{4}=0$, и?