Условия перехода от ряда к интегралу

[Tavi]

Добрый день, форумчане. Решал задачи и встал такой вопрос: допустим, требуется посчитать сумму ряда

$$S(\alpha)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(\alpha)$$

Параметр $\alpha$ при этом стремится к $\alpha_0$, при котором имеется особенность (нуль или бесконечность или ещё что-то). При этом ряд считается сложно. Но зато при переходе от дискретного $n$ к непрерывному $\nu$ отлично считается интеграл

$$I(\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}a(\nu,\alpha)d\nu$$

Ряд $a_n$ монотонный и знакопостоянный, конечно же. Выбранная функция $a(\nu)$ тоже. Вопрос: при каких условиях я могу делать такой переход и как можно оценить погрешность? Пока что пришёл к точному, но почти бесполезному заключению что

$$\left|S(\alpha)-I(\alpha)\right|\le\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\sup\limits_{\nu\in[n-0.5,n+0.5]}\left|a_n(\alpha)-a(\nu,\alpha)\right|$$

Ну и если сумма этого «погрешностного» ряда при $\alpha\to\alpha_0$ бесконечно мала по сравнению с суммой оригинального ряда, то можно использовать интеграл.
Нет ли каких-то более удобных оценок?

Пример в оффтопике:

(Оффтоп)

Если кому интересно, то речь шла о ряде

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+(n\alpha)^2}$$

при $\alpha\to 0$.
Получилось

$$I(\alpha)=\frac{\pi}{\alpha}$$

$$S(\alpha)=\frac{\pi}{\alpha}\cth(\frac{\pi}{\alpha})$$

При $\alpha<0.1$ совпадение почти идеальное (гиперболический котангенс оче быстро стремится к единице при увеличении аргумента), но я попытался оценить возможную погрешность руками с помощью того ряда и удолбался.

[Ms-dos4]

Tavi
Про погрешность в "особенности" вы пишите что-то странное, ну а вообще посмотрите формулу Эйлера-Маклорена и формулы суммирования Абеля.

[thething]

Я, конечно, не претендую на истину в последней инстанции, но если бы существовал метод вычисления суммы ряда через интегралы, все бы непременно использовали такие прекрасные методы. Да даже если бы они были и не точными -- достаточно было бы готовых простых оценок. Мне же, кроме каких-то частных случаев (степенные ряды, ряды Фурье, применение вычетов), ничего такого не попадалось. Пусть меня поправят более знающие люди.

-- 22.02.2018, 15:16 --

А Ваш ряд, кстати, не такой уж и сложный -- стандартное разложение котангенса на простейшие дроби, т.е., опять же, частный случай..

[mihiv]

Простая оценка интеграла суммой площадей прямоугольников дает неравенства: $I(\alpha )-1<S(\alpha )<I(\alpha )+1$

[Tavi]

thething в сообщении #1293746 писал(а):

А Ваш ряд, кстати, не такой уж и сложный -- стандартное разложение котангенса на простейшие дроби, т.е., опять же, частный случай..

Ну я этого не знал, доказательство только после подсказки нашёл, а пользоваться формулами, которые не могу доказать, считаю дурным тоном.

mihiv в сообщении #1293749 писал(а):

Простая оценка интеграла суммой площадей прямоугольников дает неравенства: $I(\alpha )-1<S(\alpha )<I(\alpha )+1$

И правда. Спасибо!