Найдите диагонали и нижнее основание трапеции

[Ironclad]

Добрый день!
В равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под углом 60 градусов. Найдите диагонали и нижнее основание трапеции, если верхнее основание 3 м, а боковая сторона трапеции 4 м.
Решение.
Необходимо решить задачу, не используя теорему синусов и более сложный инструментарий. Сама задача - из раздела "Теорема косинусов".



Трапеция равнобедренная, поэтому $BO=OC$, $AO=OD$.
Углы $BOA=COD$ равны 60 градусов, $BOC=AOD=120$ градусов.
Отсюда в равнобедренных треугольниках $BOC$ и $AOD$ углы при основаниях $BC$ и $AD$ равны 30 градусов.

Найти диагональ $AC=AD$ можно было бы по теореме косинусов, но для этого потребуется один из углов трапеции, которые неизвестны. Поскольку $BE$ - высота трапеции, угол $EBC$ - прямой. Тогда угол $EBO=90-30=60^o$
Но для нахождения градусной меры угла $ABC$ необходим ещё угол $ABE$. Его нахождение позволило бы определить длину диагонали $AC$. Зная, диагональ, по той же теореме косинусов легко определить нижнее основание $AD$...

[thething]

Из треугольника $BOC$ по теореме косинусов найдите $BO=OC$. Потом можно использовать подобие треугольников $BOC$ и $AOD$ и теорему косинусов в треугольнике $AOD$

[Someone]

Ironclad, а не может оказаться так, что тот угол, который у Вас помечен $120^{\circ}$, на самом деле равен $60^{\circ}$, и наоборот?

[thething]

Пардон, моя подсказка про подобие не работает. Невнимательно прочитал условие задачи и не увидел, что дана еще боковая сторона. Тогда после нахождения $OB$ теорему косинусов применяем к треугольнику $AOB$ (записывайте формулу для косинуса $\angle{BOA}$ и получится квадратное уравнение для нахождения $AO$), ну и после этого теорему косинусов применяем к треугольнику $AOD$

[EUgeneUS]

а всегда нижнее основание трапеции больше или равно, чем верхнее?

[thething]

(Оффтоп)

Как мне кажется, тут два варианта: либо рисунок сразу дан, либо, поскольку задача-то школьная, как нарисовал, так и решаешь.
По крайней мере с нас никогда не требовали рассматривать все возможные варианты, но кто знает, что поменялось в системе образования с тех пор

[Someone]

(thething)

По моим наблюдениям, в ЕГЭ в части С одна из двух геометрических задач, как правило, имеет больше одного решения.

(Оффтоп)

EUgeneUS в сообщении #1293650 писал(а):

а всегда нижнее основание трапеции больше или равно, чем верхнее?

Да, и это тоже.

[Ironclad]

Someone в сообщении #1293638 писал(а):

Ironclad, а не может оказаться так, что тот угол, который у Вас помечен $120^{\circ}$, на самом деле равен $60^{\circ}$, и наоборот?

Вполне возможно. Условие так сформулировано, что не совсем ясно...

EUgeneUS в сообщении #1293650 писал(а):

а всегда нижнее основание трапеции больше или равно, чем верхнее?

Судя по ответам (диагональ 5 и нижнее основание 2 метра), нижнее основание меньше.

[wrest]

Ironclad в сообщении #1293667 писал(а):

Судя по ответам (диагональ 5 и нижнее основание 2 метра), нижнее основание меньше.

Это неверные ответы, или ответы к другой задаче.

[wrest]

Если у равнобедренной трапеции диагональ 5, одно основание 3, а сторона 4, то второе основание тоже 3 (то есть больше 2), ибо эта трапеция прямоугольник.
Если у равнобедренной трапеции одно основание 3, сторона 4, а второе основание 2, то диагональ равна $\sqrt{22}$ то есть меньше 5.
И в обоих этих случаях угол между диагоналями больше 60 градусов.