Сравнить числа

[inzhenerbezmozgov]

Прошу помощи в сравнении чисел $3+\sqrt{5}$ и $\dfrac{\ln11}{\ln2}$
Я пробовал делать по-школьному, представляя $\sqrt{5}$ через логарифм по основанию 2. Но пришел опять к сравнению $3+\sqrt{5}$ и $\dfrac{\ln11}{\ln2}$ (бессодержательная попытка решения)). Наш семинарист, который дал нам это задание, сказал, что нужно делать с помощью математического анализа. Я, если честно, не представляю, как.

[kotenok gav]

Сравните $2^{\sqrt{5}}$ с $\frac{11}{8}$.

[wrest]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1293191 писал(а):

Я, если честно, не представляю, как.

Оцените $\dfrac{\ln 11}{\ln 2}$ - между чем и чем лежит значение (больше чего-то но меньше чего-то)?
Оцените $3+\sqrt{5}$ -- между чем и чем лежит значение?
Пересекаются ли оценки?

-- 19.02.2018, 10:28 --

inzhenerbezmozgov в сообщении #1293191 писал(а):

Наш семинарист, который дал нам это задание, сказал, что нужно делать с помощью математического анализа.

Задача в рамках школьной программы по алгебре, матанализ не нужен.

Вот если бы надо было бы сравнить скажем $2+\sqrt{3}$ (или $2+\sqrt{2}$) и $\dfrac{\ln 11}{\ln 2}$, возможно пришлось бы поломать голову.

[Shadow]

Достаточно вспомнить чему равно частное двух логарифмов с одинаковым основанием.
Ну а потом обе числа сравнить с удобным рациональным числом. Очень удобное есть.

[thething]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1293191 писал(а):

Наш семинарист, который дал нам это задание, сказал, что нужно делать с помощью математического анализа

Если так, то (в порядке бреда, конечно) Вам, может быть надо приближенные значения при помощи дифференциалов считать по формуле $f(x+\Delta{x})\approx{f(x)+f'(x)\Delta{x}}$? Например, $\sqrt{5}=\sqrt{4+1}$, $\log_211=\log_2(8+3)$

[Pphantom]

Возможно, в задании все же есть ошибка - в существующем виде это слишком просто, задача не только не требует никакого матанализа, но и попросту решается в уме. Вот этот совет

wrest в сообщении #1293196 писал(а):

Оцените $\dfrac{\ln 11}{\ln 2}$ - между чем и чем лежит значение (больше чего-то но меньше чего-то)?
Оцените $3+\sqrt{5}$ -- между чем и чем лежит значение?

вполне подходит, причем в качестве границ диапазонов достаточно подобрать натуральные числа. В общем, попробуйте для начала прикинуть значения с точностью до целых.

[inzhenerbezmozgov]

Спасибо всем участникам темы, я решил).
wrest
$2+\sqrt{3}$
Это следующий номер, кстати. Он тоже у меня н получился. Я честно содержательно пытался решить)

[wrest]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1293291 писал(а):

$2+\sqrt{3}$
Это следующий номер, кстати. Он тоже у меня н получился. Я честно содержательно пытался решить

А что именно вы пытались делать?
И что вы уже знаете (какие темы прошли) по матанализу?

[inzhenerbezmozgov]

wrest
1 сем. Пределы, производные.
Оценку. Наверное, именно этот номер надо делать с помощью матана.

[wrest]

inzhenerbezmozgov
Ряды, формула Тейлора? Было?

И все-таки, какие именно ваши идеи не подошли?

[inzhenerbezmozgov]

wrest
Да. С помощью них?
Я пытался сравнивать с рациональным числом

[wrest]

inzhenerbezmozgov
Ну у меня особо блестящих идей нет.
Я бы попробовал найти корень уравнения $2+x=\log_2(11)$ и сравнить его с $\sqrt{3}$

[inzhenerbezmozgov]

wrest
Ну можно двойку представить как логарифм четырех по основанию 2. $x=\log_411$
И как потом сравнить? Опять ведь придем к тому же самому. Я так пробовал).

[wrest]

inzhenerbezmozgov в сообщении #1293323 писал(а):

$x=\log_411$

Нет.

[thething]

Задача сводится к сравннию $\sqrt{3}$ и $\log_2\frac{11}{4}=\log_2\left(2+\frac{3}{4}\right)$
Последний логарифм можно переписать по формуле Тейлора до первого порядка, для оценки погрешности служит остаточный член в форме Лагранжа. Единственное, надо просчитать еще $\ln{2}$, достаточно с точностью до десятых

-- 20.02.2018, 08:23 --

Для этого можно, например, взять первые 10 членов ряда для $\ln{2}$