Как найти параметры эллипсоида по проекциям

[MGM]

Алексей К. писал(а):

MGM писал(а):

Значит задача ещё более сложная, чем та которая не решается. Увы.
Ну, а допустим нормали плоскостей сечения равномерно распределены на сфере?
Приближённое решение найти можно?

Ну, давайте порешаем, если мы никуда не спешим с этим. Берём эллипсоид а полуосями $a>b\ge c$, $a=1$ --- вдоль оси абсцисс. Сечём его плоскостью, нормаль к которой есть $\cos\varphi\,\sin\psi,\:\sin\varphi\sin\psi,\:\cos\psi$. Получаем эллипс с полуосями $p=?,\:q=?$...

Добавлено спустя 10 минут 47 секунд:

Подумавши, что (при таком задании сферической системы координат) удобнее было бы направить большую ось эллипсоида вдоль оси $OZ$, удаляюсь попить чего-нибудь холодного c пузыриками, и радоваться концу рабочего дня. Тогда конус нормалей $\pm\psi=const$ должен давать одинаковые $p,q$.

Конус нормалей, здорово. Надо искать угол конуса, но он зависит от трёх неизвестных, что-то такое проясняется. Идею понял. Думаю мне тоже надо чего-нибудь выпить.

[Алексей К.]

Алексей К. писал(а):

Получаем эллипс с полуосями $p=?,\:q=?$...

Это был тонкий намёк, что полуоськи-то вроде как Вам считать...

Добавлено спустя 9 минут 44 секунды:

Cervix писал(а):

В любом случае - достаточно рассматривать только p (при данном выборе сечения мы все равно не сможем увидеть разницу между p и q при данной постановке вопроса). Т.е. распределения случ. величин p и q совпадают.

Здесь, похоже, прийдётся сговориться, что $p$ --- это та, которая подлиннее, $p\ge q$. И так её и вычислять. А интересными могут оказаться другие распределения, типа по фокальному параметру $f$ и эксцентриситетам $e$ (если в одну "группу" попадут все подобные эллипсы).

Добавлено утром, которое вечера мудренее:

А слова про конус беру взад. Чо-то вчера воспринимал эллипсоид как тело вращения...

[MGM]

Алексей К. писал(а):

А слова про конус беру взад. Чо-то вчера воспринимал эллипсоид как тело вращения...

Если две оси равны, то так и будет, но тогда, достаточно одной проекции. Или двух, если неизвестен взаимный масштаб проекции и эллипсоида.
Ну да для трёх параметров (даже для двух, если одну ось принять за единицу) задача неразрешима. Так как изначально 4 неизвестных и два уравненеия для одной проекции. Увеличение числа проекций прибавляет по два уравнения, но и по два неизвестных угла.
Если проекций много, то можно, видимо, найти уклонения, и принять их за параметры осей, но как найти нормальное распределение? вот вопрос.

[Cervix]

Сложность задачи, видимо, зависит от желаемой точности.
Могу предложить тупой вариант - в каждом сечении имеете оси $(p,q)$ - бОльшую заносите в массив P, меньшую в Q.
При достаточном (для достижения необходимой точности) количестве равномерно распределенных сечений оси эллипсоида можно "посчитать": $a=min(Q), b\approx max(Q)\approx min(P)\approx \frac{min(P)+max(Q)}{2}, c=max(Q)$.
Можете уточнить, что же вы конкретно пытаетесь решить - можно и еще что-то придумать.

[MGM]

Cervix писал(а):

Сложность задачи, видимо, зависит от желаемой точности.
Могу предложить тупой вариант - в каждом сечении имеете оси $(p,q)$ - бОльшую заносите в массив P, меньшую в Q.
При достаточном (для достижения необходимой точности) количестве равномерно распределенных сечений оси эллипсоида можно "посчитать": $a=min(Q), b\approx max(Q)\approx min(P)\approx \frac{min(P)+max(Q)}{2}, c=max(Q)$.
Можете уточнить, что же вы конкретно пытаетесь решить - можно и еще что-то придумать.

Спасибо большое, на первый взгляд именно то, что нужно.
PS. Если большую ось эллипсоида принять за 1, а параметром сечения является только отношение $p/q$ то ещё проще.

\[ a = 1;c = \min \left\{ {{\raise0.7ex\hbox{${p_i }$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{p_i } {q_i }}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{${q_i }$}}} \right\};b = \frac{c} {{\max \left\{ {{\raise0.7ex\hbox{${p_i }$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{p_i } {q_i }}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{${q_i }$}}} \right\}}}; \]

[Алексей К.]

MGM писал(а):

Ну да для трёх параметров (даже для двух, если одну ось принять за единицу) задача неразрешима.

Имеет смысл записать целиком и по новой условие обсуждаемой задачи. Вам к изначальной формулировке предлагалось много поправок, по дороге мелькала (от меня) некая обратная задача; от неё, возможно, появились более ясные термины и принятые поправки к Вашей задаче. Сформулировать начисто.
Возможно, сгодится пассаж "концы нормалей к секущим плоскостям равномерно распределены по поверхности единичной сферы".

[MGM]

Алексей К. писал(а):

MGM писал(а):

Ну да для трёх параметров (даже для двух, если одну ось принять за единицу) задача неразрешима.

Имеет смысл записать целиком и по новой условие обсуждаемой задачи. Вам к изначальной формулировке предлагалось много поправок, по дороге мелькала (от меня) некая обратная задача; от неё, возможно, появились более ясные термины и принятые поправки к Вашей задаче. Сформулировать начисто.
Возможно, сгодится пассаж "концы нормалей к секущим плоскостям равномерно распределены по поверхности единичной сферы".

Постараюсь. правда, изначально задача формулируется не совсем так просто. Физические объекты не совсем эллипсоиды, да и то, что сечение центральное, а следовательно проекция плоская - есть некоторое упрощение.На самом деле проекция перспективная,но можно считать достаточно узкоугольной.
PS Прочитал и вижу, что равномерное распределение ракурсов проекции, кажется, не гарантирует "концы нормалей к секущим плоскостям равномерно распределены по поверхности единичной сферы". Расределение будет всё таки неравномерным.

[Алексей К.]

Уточнять Вам, я лишь предложил вариант уточнения того, о чём приходится догадываться.

[MGM]

Алексей К. писал(а):

Уточнять Вам, я лишь предложил вариант уточнения того, о чём приходится догадываться.

Я всё же уточню самый простой вариант, тот который был решён в первом приближении.