Как найти параметры эллипсоида по проекциям

[MGM]

Дано: эллипсоид

\[ \frac{{x^2 }} {{a^2 }} + \frac{{y^2 }} {{b^2 }} + \frac{{z^2 }} {{c^2 }} = 1; \]

с неизвестными параметрами

\[ \left\{ {\frac{b} {a},\frac{c} {a}} \right\} \]

При центральном сечении эллипсоида $N$ плоскостями известны отношения осей эллипса, получаемого в результате такого сечения.

\[ \frac{{p_n }} {{q_n }},0 < n \leqslant N,N \in \mathbb{N} \]

Вопрос: оределить наиболее вероятные параметры

\[ \left\{ {\frac{b} {a},\frac{c} {a}} \right\} \]

эллипсоида, если известно, что концы нормалей к секущим плоскостям равномерно распределены по поверхности единичной сферы.

[Cervix]

MGM писал(а):

Дано: эллипсоид
Вопрос: можно ли в принципе определить параметры эллипсоида a и b если о секущих плоскостях ничего не известно, если можно, то каково минимальное N.

Нельзя, если все плоскости совпадают, то от N ничего не зависит.

[MGM]

Cervix писал(а):

MGM писал(а):

Дано: эллипсоид
Вопрос: можно ли в принципе определить параметры эллипсоида a и b если о секущих плоскостях ничего не известно, если можно, то каково минимальное N.

Нельзя, если все плоскости совпадают, то от N ничего не зависит.

Этот тривиальный ответ я исключил правкой.
Понятно, что если три плоскости с взаимно перпендикуляные нормалями рассматривать, то задача должна решаться, хотя тоже не знаю как.
А вот если случайные сечения, но не совпадающие?

[Алексей К.]

MGM писал(а):

N сечений с неизвестными ортонормированными базисами:

\[ \left\{ {y_1 ,y_2 } \right\}_n - {\text{ }}{\mathbf{Y}}_n \subset {\mathbf{X}} \]

позволяют получить N известных параметров

Вы, случайно, не перемудрили в этой фразе?

/глупости удалил --- это начальник помешал, прибежал тут../

Сечения центральные, этот вывод мы делаем из заголовка, но никак не из внутренности сообщения. Да?

[MGM]

Алексей К. писал(а):

MGM писал(а):

N сечений с неизвестными ортонормированными базисами:

\[ \left\{ {y_1 ,y_2 } \right\}_n - {\text{ }}{\mathbf{Y}}_n \subset {\mathbf{X}} \]

позволяют получить N известных параметров

Вы, случайно, не перемудрили в этой фразе?

В заголовке --- простая понятная задачка, в тексте --- какие-то базисы, зачем-то разные системы координат вводятся...

Добавлено спустя 2 минуты 46 секунд:

Ну да, разные системы координат видимо, удобны
Сечения центральные, этот вывод мы делаем из заголовка, но никак не из внутренности сообщения. Да?

Да, центральное. Может и перемудрил. Мне казалось, что если два взаимно ортогональных вектора y1 y2 рассматривать как систеиу координат линейного подпространства, будет проще.

[Алексей К.]

MGM писал(а):

Дано: эллипсоид

\[ {\mathbf{x}}_1^2 + a{\mathbf{x}}_2^2 + b{\mathbf{x}}_3^2 = 1,{\text{ }} \]

с неизвестными параметрами a и b

Ну, допустим, у заданного эллипсоида одно полуось мы сделали единицей.

Но кто нам дал право так поступать с образовавшимися эллипсами?

MGM писал(а):

Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:

$${\mathbf{y}}_1^2 + c_n {\mathbf{y}}_2^2 = 1$$

,

[Cervix]

MGM писал(а):

Дано: эллипсоид

\[ {\mathbf{x}}_1^2 + a{\mathbf{x}}_2^2 + b{\mathbf{x}}_3^2 = 1,{\text{ }} \]

с неизвестными параметрами a и b
где

\[ \left\{ {{\mathbf{x}}_1 ,{\mathbf{x}}_2 ,{\mathbf{x}}_3 } \right\} - {\mathbf{X}} \]

ортонормированный базис.Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:

\[ {\mathbf{y}}_1^2 + c_n {\mathbf{y}}_2^2 = 1,{\text{ }}c_n \]

- известно.
N сечений с неизвестными ортонормированными базисами:

\[ \left\{ {y_1 ,y_2 } \right\}_n - {\text{ }}{\mathbf{Y}}_n \subset {\mathbf{X}} \]

позволяют получить N известных параметров

\[ c_n \]

Эта задача не решается при конечном N.

[Алексей К.]

Насчёт перемудрить --- это я имел в виду только то, что что-то нам "позволяет получить N известных параметров". Ещё сужаю --- "получение известных параметров"... Коробит слегка...

[MGM]

Алексей К. писал(а):

MGM писал(а):

Дано: эллипсоид

\[ {\mathbf{x}}_1^2 + a{\mathbf{x}}_2^2 + b{\mathbf{x}}_3^2 = 1,{\text{ }} \]

с неизвестными параметрами a и b

Ну, допустим, у заданного эллипсоида одно полуось мы сделали единицей.

Но кто нам дал право так поступать с образовавшимися эллипсами?

MGM писал(а):

Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:

$${\mathbf{y}}_1^2 + c_n {\mathbf{y}}_2^2 = 1$$

,

Да, ошибся и исправил

[Cervix]

Но кто нам дал право так поступать с образовавшимися эллипсами?

MGM писал(а):

Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:

$${\mathbf{y}}_1^2 + c_n {\mathbf{y}}_2^2 = 1$$

,

Это просто значит, что $\mathbf{y_1}=\mathbf{x_1}$

[MGM]

Cervix писал(а):

Но кто нам дал право так поступать с образовавшимися эллипсами?

MGM писал(а):

Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:

$${\mathbf{y}}_1^2 + c_n {\mathbf{y}}_2^2 = 1$$

,

Это просто значит, что $\mathbf{y_1}=\mathbf{x_1}$

Значит задача ещё более сложная, чем та которая не решается. Увы.
Ну, а допустим нормали плоскостей сечения равномерно распределены на сфере?
Приближённое решение найти можно?

[Алексей К.]

Cervix писал(а):

Это просто значит, что $\mathbf{y_1}=\mathbf{x_1}$

Тогда фразу

MGM писал(а):

Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:

$${\mathbf{y}}_1^2 + c_n {\mathbf{y}}_2^2 = 1$$

,

следует писать "плоскость сечения такова, что уравнение образовавшегося эллипса имеет вид...

MGM, что Вам мешает использовать общепринятые доллары при записи? И писать проще, и цитировать. И --- общепринято.

Короче, вырисовыется хорошая задачка (обратная): каких $p$-$q$-эллисов можно насечь из данного $a$-$b$-$c$-эллипсоида? В частности, окружности из них --- какие?
На первый взгляд ответ --- $\min(a,b,c)\le p\le q \le\max(a,b,c)$. Но это всё написано в рабочее время, т.е. плохо продумано.

[MGM]

Алексей К. писал(а):

Cervix писал(а):

Это просто значит, что $\mathbf{y_1}=\mathbf{x_1}$

Тогда фразу

MGM писал(а):

Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:

$${\mathbf{y}}_1^2 + c_n {\mathbf{y}}_2^2 = 1$$

,

следует писать "плоскость сечения такова, что уравнение образовавшегося эллипса имеет вид...

MGM, что Вам мешает использовать общепринятые доллары при записи? И писать проще, и цитировать. И --- общепринято.

Короче, вырисовыется хорошая задачка (обратная): каких $p$-$q$-эллисов можно насечь из данного $a$-$b$-$c$-эллипсоида? В частности, окружности из них --- какие?
На первый взгляд ответ --- $\min(a,b,c)\le p\le q \le\max(a,b,c)$. Но это всё написано в рабочее время, т.е. плохо продумано.

Спасибо Алексей, буду думать.
Хотя Ваша задача - чисто математическая, а мне бы решить, или хотя бы оценить численно.
Поэтому и начал с проблемы существования решений.

[Алексей К.]

MGM писал(а):

Значит задача ещё более сложная, чем та которая не решается. Увы.
Ну, а допустим нормали плоскостей сечения равномерно распределены на сфере?
Приближённое решение найти можно?

Ну, давайте порешаем, если мы никуда не спешим с этим. Берём эллипсоид c полуосями $a\le b< c$, $c=1$ --- (поправлено: теперь большая полуось находится на оси аппликат: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{1^2}=1$). Сечём его плоскостью, нормаль к которой есть $(\cos\varphi\,\sin\psi,\:\sin\varphi\sin\psi,\:\cos\psi)$. Получаем эллипс с полуосями $p=?,\:q=?$...

Добавлено спустя 10 минут 47 секунд:

Подумавши, что (при таком задании сферической системы координат) удобнее было бы направить большую ось эллипсоида вдоль оси $OZ$, удаляюсь...

[Cervix]

Алексей К. писал(а):

MGM писал(а):

Значит задача ещё более сложная, чем та которая не решается. Увы.
Ну, а допустим нормали плоскостей сечения равномерно распределены на сфере?
Приближённое решение найти можно?

Ну, давайте порешаем, если мы никуда не спешим с этим. Берём эллипсоид а полуосями $a>b\ge c$, $a=1$ --- вдоль оси абсцисс. Сечём его плоскостью, нормаль к которой есть $\cos\varphi\,\sin\psi,\:\sin\varphi\sin\psi,\:\cos\psi$. Получаем эллипс с полуосями $p=?,\:q=?$...

В любом случае - достаточно рассматривать только p (при данном выборе сечения мы все равно не сможем увидеть разницу между p и q при данной постановке вопроса). Т.е. распределения случ. величин p и q совпадают.