2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 18:15 
Аватара пользователя
Дано: эллипсоид

\[
\frac{{x^2 }}
{{a^2 }} + \frac{{y^2 }}
{{b^2 }} + \frac{{z^2 }}
{{c^2 }} = 1;
\]

с неизвестными параметрами \[
\left\{ {\frac{b}
{a},\frac{c}
{a}} \right\}
\]
При центральном сечении эллипсоида $N$ плоскостями известны отношения осей эллипса, получаемого в результате такого сечения.\[
\frac{{p_n }}
{{q_n }},0 < n \leqslant N,N \in \mathbb{N}
\]


Вопрос: оределить наиболее вероятные параметры \[
\left\{ {\frac{b}
{a},\frac{c}
{a}} \right\}
\] эллипсоида, если известно, что концы нормалей к секущим плоскостям равномерно распределены по поверхности единичной сферы.

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 18:21 
Аватара пользователя
MGM писал(а):
Дано: эллипсоид
Вопрос: можно ли в принципе определить параметры эллипсоида a и b если о секущих плоскостях ничего не известно, если можно, то каково минимальное N.

Нельзя, если все плоскости совпадают, то от N ничего не зависит.

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 18:34 
Аватара пользователя
Cervix писал(а):
MGM писал(а):
Дано: эллипсоид
Вопрос: можно ли в принципе определить параметры эллипсоида a и b если о секущих плоскостях ничего не известно, если можно, то каково минимальное N.

Нельзя, если все плоскости совпадают, то от N ничего не зависит.

Этот тривиальный ответ я исключил правкой.
Понятно, что если три плоскости с взаимно перпендикуляные нормалями рассматривать, то задача должна решаться, хотя тоже не знаю как.
А вот если случайные сечения, но не совпадающие?

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 18:39 
MGM писал(а):
N сечений с неизвестными ортонормированными базисами:
\[
\left\{ {y_1 ,y_2 } \right\}_n  - {\text{ }}{\mathbf{Y}}_n  \subset {\mathbf{X}}
\]
позволяют получить N известных параметров

Вы, случайно, не перемудрили в этой фразе?

/глупости удалил --- это начальник помешал, прибежал тут../

Сечения центральные, этот вывод мы делаем из заголовка, но никак не из внутренности сообщения. Да?

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 18:52 
Аватара пользователя
Алексей К. писал(а):
MGM писал(а):
N сечений с неизвестными ортонормированными базисами:
\[
\left\{ {y_1 ,y_2 } \right\}_n  - {\text{ }}{\mathbf{Y}}_n  \subset {\mathbf{X}}
\]
позволяют получить N известных параметров

Вы, случайно, не перемудрили в этой фразе?

В заголовке --- простая понятная задачка, в тексте --- какие-то базисы, зачем-то разные системы координат вводятся...

Добавлено спустя 2 минуты 46 секунд:

Ну да, разные системы координат видимо, удобны
Сечения центральные, этот вывод мы делаем из заголовка, но никак не из внутренности сообщения. Да?

Да, центральное. Может и перемудрил. Мне казалось, что если два взаимно ортогональных вектора y1 y2 рассматривать как систеиу координат линейного подпространства, будет проще.

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 18:52 
MGM писал(а):
Дано: эллипсоид
\[
{\mathbf{x}}_1^2  + a{\mathbf{x}}_2^2  + b{\mathbf{x}}_3^2  = 1,{\text{ }}
\]
с неизвестными параметрами a и b

Ну, допустим, у заданного эллипсоида одно полуось мы сделали единицей.

Но кто нам дал право так поступать с образовавшимися эллипсами?
MGM писал(а):
Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:
$${\mathbf{y}}_1^2  + c_n {\mathbf{y}}_2^2  = 1$$,

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 18:54 
Аватара пользователя
MGM писал(а):
Дано: эллипсоид

\[
{\mathbf{x}}_1^2  + a{\mathbf{x}}_2^2  + b{\mathbf{x}}_3^2  = 1,{\text{ }}
\]
с неизвестными параметрами a и b
где
\[
\left\{ {{\mathbf{x}}_1 ,{\mathbf{x}}_2 ,{\mathbf{x}}_3 } \right\} - {\mathbf{X}}
\]ортонормированный базис.Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:
\[
{\mathbf{y}}_1^2  + c_n {\mathbf{y}}_2^2  = 1,{\text{ }}c_n 
\] - известно.
N сечений с неизвестными ортонормированными базисами:
\[
\left\{ {y_1 ,y_2 } \right\}_n  - {\text{ }}{\mathbf{Y}}_n  \subset {\mathbf{X}}
\]
позволяют получить N известных параметров
\[
c_n 
\]

Эта задача не решается при конечном N.

 
 
 
 
Сообщение23.06.2008, 18:56 
Насчёт перемудрить --- это я имел в виду только то, что что-то нам "позволяет получить N известных параметров". Ещё сужаю --- "получение известных параметров"... Коробит слегка...

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 18:56 
Аватара пользователя
Алексей К. писал(а):
MGM писал(а):
Дано: эллипсоид
\[
{\mathbf{x}}_1^2  + a{\mathbf{x}}_2^2  + b{\mathbf{x}}_3^2  = 1,{\text{ }}
\]
с неизвестными параметрами a и b

Ну, допустим, у заданного эллипсоида одно полуось мы сделали единицей.

Но кто нам дал право так поступать с образовавшимися эллипсами?
MGM писал(а):
Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:
$${\mathbf{y}}_1^2  + c_n {\mathbf{y}}_2^2  = 1$$,

Да, ошибся и исправил

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 18:56 
Аватара пользователя
Но кто нам дал право так поступать с образовавшимися эллипсами?
MGM писал(а):
Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:
$${\mathbf{y}}_1^2  + c_n {\mathbf{y}}_2^2  = 1$$,

Это просто значит, что $\mathbf{y_1}=\mathbf{x_1}$

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 19:09 
Аватара пользователя
Cervix писал(а):
Но кто нам дал право так поступать с образовавшимися эллипсами?
MGM писал(а):
Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:
$${\mathbf{y}}_1^2  + c_n {\mathbf{y}}_2^2  = 1$$,

Это просто значит, что $\mathbf{y_1}=\mathbf{x_1}$


Значит задача ещё более сложная, чем та которая не решается. Увы.
Ну, а допустим нормали плоскостей сечения равномерно распределены на сфере?
Приближённое решение найти можно?

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 19:11 
Cervix писал(а):
Это просто значит, что $\mathbf{y_1}=\mathbf{x_1}$

Тогда фразу
MGM писал(а):
Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:
$${\mathbf{y}}_1^2  + c_n {\mathbf{y}}_2^2  = 1$$,

следует писать "плоскость сечения такова, что уравнение образовавшегося эллипса имеет вид...

MGM, что Вам мешает использовать общепринятые доллары при записи? И писать проще, и цитировать. И --- общепринято.

Короче, вырисовыется хорошая задачка (обратная): каких $p$-$q$-эллисов можно насечь из данного $a$-$b$-$c$-эллипсоида? В частности, окружности из них --- какие?
На первый взгляд ответ --- $\min(a,b,c)\le p\le q \le\max(a,b,c)$. Но это всё написано в рабочее время, т.е. плохо продумано.

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 19:28 
Аватара пользователя
Алексей К. писал(а):
Cervix писал(а):
Это просто значит, что $\mathbf{y_1}=\mathbf{x_1}$

Тогда фразу
MGM писал(а):
Сечение некоторой плоскостью в Х даёт уравнение эллипса:
$${\mathbf{y}}_1^2  + c_n {\mathbf{y}}_2^2  = 1$$,

следует писать "плоскость сечения такова, что уравнение образовавшегося эллипса имеет вид...

MGM, что Вам мешает использовать общепринятые доллары при записи? И писать проще, и цитировать. И --- общепринято.

Короче, вырисовыется хорошая задачка (обратная): каких $p$-$q$-эллисов можно насечь из данного $a$-$b$-$c$-эллипсоида? В частности, окружности из них --- какие?
На первый взгляд ответ --- $\min(a,b,c)\le p\le q \le\max(a,b,c)$. Но это всё написано в рабочее время, т.е. плохо продумано.

Спасибо Алексей, буду думать.
Хотя Ваша задача - чисто математическая, а мне бы решить, или хотя бы оценить численно.
Поэтому и начал с проблемы существования решений.

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 19:39 
MGM писал(а):
Значит задача ещё более сложная, чем та которая не решается. Увы.
Ну, а допустим нормали плоскостей сечения равномерно распределены на сфере?
Приближённое решение найти можно?


Ну, давайте порешаем, если мы никуда не спешим с этим. Берём эллипсоид c полуосями $a\le b< c$, $c=1$ --- (поправлено: теперь большая полуось находится на оси аппликат: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{1^2}=1$). Сечём его плоскостью, нормаль к которой есть $(\cos\varphi\,\sin\psi,\:\sin\varphi\sin\psi,\:\cos\psi)$. Получаем эллипс с полуосями $p=?,\:q=?$...

Добавлено спустя 10 минут 47 секунд:

Подумавши, что (при таком задании сферической системы координат) удобнее было бы направить большую ось эллипсоида вдоль оси $OZ$, удаляюсь...

 
 
 
 Re: Как найти параметры эллипсоида по проекциям
Сообщение23.06.2008, 19:45 
Аватара пользователя
Алексей К. писал(а):
MGM писал(а):
Значит задача ещё более сложная, чем та которая не решается. Увы.
Ну, а допустим нормали плоскостей сечения равномерно распределены на сфере?
Приближённое решение найти можно?


Ну, давайте порешаем, если мы никуда не спешим с этим. Берём эллипсоид а полуосями $a>b\ge c$, $a=1$ --- вдоль оси абсцисс. Сечём его плоскостью, нормаль к которой есть $\cos\varphi\,\sin\psi,\:\sin\varphi\sin\psi,\:\cos\psi$. Получаем эллипс с полуосями $p=?,\:q=?$...

В любом случае - достаточно рассматривать только p (при данном выборе сечения мы все равно не сможем увидеть разницу между p и q при данной постановке вопроса). Т.е. распределения случ. величин p и q совпадают.

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group