Задача про пружинку

[OlegCh]

Что-то я не пойму...
Вот задача. Дана такая конструкция:

Нити, блоки и пружина невесомые, трения нигде нет. Нити нерастяжимые.
Система находится в равновесии. В какой-то момент нить в точке А пережигают.
Найти минимальную массу М, при которой ускорение груза 1 по модулю будет больше $g$.

Ну, вроде бы понятно, что для того, чтобы ускорение тела 1 было больше $g$, сила упругости нижней нити должна быть больше 0. Тогда в момент пережигания эта сила упругости придаст телу 1 дополнительное ускорение. Значит, граничным значением для этой силы будет 0, т.е. состояние, при котором нижняя нить не натянута. Но тогда груз 1 получается свободно висящим и уравновешивающим грузы 2 и 3 с другой стороны блока. Стало быть, в этом случае $M=4m$, это и будет минимальной искомой массой.
Но вот в ответе написано $M>6m$. Почему???

[VASILISK11]

OlegCh в сообщении #1292539 писал(а):

Но вот в ответе написано $M>6m$. Почему???

Потому что минимальным ускорением груза 2 , которое влияет на движение груза 1, есть не ноль, а ускорение $g$, направленное вверх. Потому что внизу блок.

[OlegCh]

Ничего не понял. Можно подробнее?

[oleg_2]

Нити нерастяжимые, вся упругость сосредоточена в пружине. Пусть длина свободной пружины $l_0$, длина растянутой пружины $l = l_0 + \Delta l$. Пусть $dl$ много меньше $\Delta l$. Тогда при пережигании нити, когда пружина начнет сжиматься, можно считать, что сила упругости пружины практически постоянна при уменьшении ее длины на $dl$.
При пережигании нити грузы 2 и 3 начнут сближаться. Если до пережигания сила упругости пружины была $F > mg$, то груз 2 полетит вверх. А если $F > 2mg$, то нижняя петля нити не провиснет и поспособствует ускоренному падению груза 1 (это пока грузы 2 и 3 сближаются на расстояние $dl$).

[OlegCh]

Всё равно не понятно. Не понятно вот что. Вот пусть у нас масса $M=4m+dM$, ну то есть чуть больше чем $4m$. Тогда сила упругости пружины будет чуть больше $mg$, и нижняя нить будет слегка натянута. Пусть ее сила упругости $dT$.
Теперь вот точное условие (надо было его сразу привести, конечно...):

Теперь пережигаем нить. Нити у нас нерастяжимы, значит груз 1 сразу высвобождается. Но натяжение нижней нити же ещё остается, правильно? Поскольку воздействие на груз 2 ещё не началось. Вот я и считаю, что сила упругости нижней нити в любом случае даст добавку к ускорению груза 1. Я не прав?

p.s. В первом предложении исправил опечатку - вместо $2m$ надо было написать $4m$. Теперь правильно.

[Theoristos]

Хм. Если натяжения нижней нити нет, то при пережигании в А груз 1 будет падать с ускорением g.
Если есть хоть какое-то натяжение нижней нити, то в первый момент груз будет падать с ускорением больше g.
А оно будет, если хоть немного растянута пружина

Хотя задача плохо обусловлена - нерастяжимые нити теряют натяжение при даже бесконечно малом их удлинении. И какой тогда считать её натяжение в первый момент - вопрос глубоко философский.
Условие M>6m, похоже, является условием "неукорачивания" нити в первый момент (когда при её отсутствии ускорение груза 1 вниз меньше, чем ускорение груза 2 вверх).
На "реальных", упругих нитях, при наличии M, в первый момент ускорение 1 всегда больше g.

[VASILISK11]

OlegCh в сообщении #1292561 писал(а):

Ничего не понял. Можно подробнее?

Мы пережгли нить, и груз 1 стал двигаться вниз с ускорением $g$. Этот груз связан с грузом 2 нерастяжимой нитью через блок. Если груз 2 неподвижен, то эта нить начнёт сминаться. Она перестанет сминаться, если груз 2 движется, с точно таким же ускорением $g$, но уже вверх. Дальше математика.

Цитата:

Теперь пережигаем нить. Нити у нас нерастяжимы, значит груз 1 сразу высвобождается. Но натяжение нижней нити же ещё остается, правильно? Поскольку воздействие на груз 2 ещё не началось. Вот я и считаю, что сила упругости нижней нити в любом случае даст добавку к ускорению груза 1. Я не прав?

Это переходное ускорение, связанное с растяжимостью нити. Так как у нас нить нерастяжима, то время этого ускорения стремится к нулю, и в задаче оно не учитывается.

[OlegCh]

VASILISK11 в сообщении #1292601 писал(а):

Так как у нас нить нерастяжима, то время этого ускорения стремится к нулю, и в задаче оно не учитывается.

Вот это-то мне и не понятно. Если в задаче спрашивается про "первый момент", то почему это оно не учитывается?
Вся моя инженерная интуиция встает на дыбы.

[pogulyat_vyshel]

Задачи на пережигание нити следует понимать так. У нас есть две разных задачи: одна статическая -- с нитью, другая динамическая -- без нити. Статическая задача служит для нахождения начальных данных для дифференциальных уравнений динамической задачи.

[VASILISK11]

OlegCh в сообщении #1292605 писал(а):

Вот это-то мне и не понятно. Если в задаче спрашивается про "первый момент", то почему это оно не учитывается?
Вся моя инженерная интуиция встает на дыбы.

Как раз инженерная интуиция и должна подсказать, что ускорение вычисляется, как соотношение конечного приращения скорости к конечному интервалу времени. Так как нить нерастяжима, то она придает нулевое приращение скорости грузу 1, за счёт своего растяжение, поэтому на конечное, хоть и очень малое, приращение скорости, никак не влияет.

[OlegCh]

VASILISK11, ну в общем ситуация с вашей помощью прояснилась, спасибо. Недопонимание было вызвано неверным интуитивным представлением о нерастяжимой упругой нити. А именно тем, что я считал (интуитивно), что если тело (например, брусок на гладком столе) привязано (к стене) нерастяжимой упругой нитью, и я это тело начинаю тянуть рукой, а потом вдруг отпускаю, то оно дернется в противоположную сторону. Но на самом деле оно никуда не сдвинется и никакого ускорения у него не будет. Вот это трудно было осознать.

[Батороев]

OlegCh
Ускорение, "большее $g$, которое будет иметь груз $2$ сразу после сжигания нити", является эквивалентом "наличия внешнего усилия, воздействующего вниз на этот груз, возникающего после потери связи в т. $A$"... с учетом инерции покоя всех грузов.

-- 15 фев 2018 14:17 --

OlegCh в сообщении #1292599 писал(а):

Не понятно вот что. Вот пусть у нас масса $M=4m+dM$, ну то есть чуть больше чем $4m$. Тогда сила упругости пружины будет чуть больше $mg$, и нижняя нить будет слегка натянута.

Сила тяжести $P_1=Mg$ распределяется на обе нижние ветви поровну. Необходимо рассмотреть поправку от грузов $1,2,3$ на эту величину натяжения и тогда можно будет определить усилие пружины.

[Theoristos]

Батороев в сообщении #1292610 писал(а):

Сила тяжести $P_1=Mg$ распределяется на обе нижние ветви поровну. Необходимо рассмотреть поправку от грузов $1,2,3$ на эту величину натяжения и тогда можно будет определить усилие пружины.

Не пойму в чём вопрос.
Ускорение левого груза после пережигания -g - натяжение нашей идеальной веревки.
Значит, для сохранения натяжения ускорение правого нижнего груза - не менее +g.
Значит, пружина тянет его вверх с силой не менее 2mg.
Значит она же тянет верхний правый груз вниз с такой же силой 2mg
Значит сам этот груз до пережигания тянул верхнюю веревку с силой 2mg+mg=3mg
А так как система была в равновесии, то и слева веревка тянулась с силой 3mg
Итого, 6mg суммарно на блок, = M g, M=6m как предел.

Но, как писал выше, всё это сферовакуумное рассуждение базируется на некой идеально-идейной модели нити.

[Eule_A]

Theoristos
Даже такие простые формулы нужно набирать, используя тег math.

[Alex-Yu]

OlegCh в сообщении #1292539 писал(а):

Вот задача.

Задача бессмысленна. Если, конечно, картинка правильно нарисована.


Как только нить перерезана в точке А, так сразу есть все эти блоки-нити-пружины, нету их --- нет никакой разницы. Так что будет падать с ускорением $g$.