2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство
Сообщение12.02.2018, 14:39 
Аватара пользователя


18/11/13
78
Доказать, что $(x-y)(y-z)(z-x)\leq\frac{1}{\sqrt{2}}$, если известно, что $x^2+y^2+z^2=1$. $x,y,z$ - вещественные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение12.02.2018, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
645
Арктика
Может быть методом множителей Лагранжа исследовать $f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)$ на максимум при условии $x^2+y^2+z^2=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение12.02.2018, 15:02 
Аватара пользователя


18/11/13
78
thething в сообщении #1292010 писал(а):
Может быть методом множителей Лагранжа исследовать $f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)$ на максимум при условии $x^2+y^2+z^2=1$

это олимпиадная задача для школьников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.02.2018, 11:21 
Заслуженный участник


03/01/09
1225
москва
Обозначим левую часть неравенства $F(x,y,z)$. Докажем неравенство для $|F|$.
Пусть максимум $|F|$ достигается в точке $(x_0,y_0,z_0)$, (мы можем считать, что $x_0\geq y_0\geq z_0)$ тогда:$$\sqrt {|F|}\leq \frac {|x_0-y_0|+|y_0-z_0|}2\sqrt {|x_0-z_0|}=\frac {|x_0-z_0|^{\frac 32}}2\eqno (1)$$ При получении (1) использовано неравенство: $\sqrt {|x_0-y_0||y_0-z_0|}\leq \dfrac {|x_0-y_0|+|y_0-z_0|}2$.Так как $(z_0-x_0)^2=x_0^2+z_0^2-2x_0y_0\leq 2(x_0^2+z_0^2) \leq 2$, то $|x_0-z_0|\leq \sqrt 2\eqno (2)$. С учетом (2) из (1) получим: $|F|\leq \frac 1{\sqrt 2}$.

-- Вт фев 13, 2018 13:18:39 --

Ну если, например, $y_0\geq x_0\geq z_0$, то можно переобозначить оси координат: $\bar x=y, \bar y=x, \bar z=z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.02.2018, 13:02 


30/03/08
186
St.Peterburg
пусть $ x \le y \le z $. тогда если их всех вместе сдвигать, то левая часть неравенства не меняется, а минимум $x^2+y^2+z^2 $ будет при $x+y+z=0 $ (момент инерции минимален когда центр тяжести в начале координат)

и неравенство перепишется: $x^2y^2z^2 \ge 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.02.2018, 13:08 
Аватара пользователя


14/12/17
333
mihiv в сообщении #1292199 писал(а):
Ну если, например, $y_0\geq x_0\geq z_0$, то можно переобозначить оси координат: $\bar x=y, \bar y=x, \bar z=z$.

Всё так, левая часть меняет знак на противоположный, Вы рассматриваете модуль, он не меняется.
( я не спрашивал, я предположил, что кто-нибудь обязательно спросит. Self-fulfilling prophecy : )

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.02.2018, 16:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
645
Арктика
Причем данная оценка -- точная, равенство достигается, например, при $x=0,y=\frac{1}{\sqrt{2}},z=-\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Вот так ловко школьники решают задачи на условный экстремум)) :appl:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение13.02.2018, 16:25 


03/03/12
1015
Можно стандартно (но длинновато). Если $x\ge(y;z)\ge0$, $x^2+y^2+z^2=1$, то верно неравенство:

$$(x-y)(y+z)(x+z)\le\frac{1}{\sqrt2}$$

$$(x+z)y^2-(x^2-z^2)y-xz(x+z)+\frac{1}{\sqrt2}(x^2+z^2)\ge0$$

Т.к. дискриминант не положителен, то неравенство верно. Для доказательства остальных случаев можно использовать эту идею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение15.02.2018, 22:49 
Заслуженный участник


11/05/08
31380
Ну вот вполне деццкое, как мне кажется, д-во.

Ясно, что из трёх скобок две должны быть отрицательны и одна положительна. В том смысле, что достаточно рассматривать только этот случай. Для определённости считаем, что $x-y<0$ и $z-x<0$, т.е. что $z<x<y$.

При фиксированных игреках и зетах произведение скобок, т.е., собственно, произведение $(x-z)(y-x)$, максимально в вершине школьной параболы относительно икса. Т.е. в точке $x=\frac{x+y}2$, где это произведение есть $\frac{(y-z)^3}4$.

А теперь смотрим: когда разность между игреками и зетами может быть максимальной -- при условии, что $x^2+y^2+z^2\equiv1$?...

Ясно, что при $x=0$. А вот дальше -- уже вопрос, как оформлять. Я бы тупо сослался на то, что при фиксированных иксах игреки и зеты суть координаты точки на окружности радиуса $\sqrt{1-x^2}$. И что через синусы с косинусами очевидно, что икс должен быть равен именно нулю, а игреки и зеты одинаковы по величине и противоположны по знаку, т.е. $y=-z=\frac1{\sqrt2}$, скажем.

Ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение16.02.2018, 00:18 
Заслуженный участник


26/06/07
1806
Ironi dalet school, tel-aviv
Моё доказательство было здесь:
https://math.stackexchange.com/questions/2648520/

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение16.02.2018, 11:43 
Аватара пользователя


18/11/13
78
При $z=0$ например, задача сильно упрощается. Так как $x^2+y^2=1$, то достаточно положить, что $x=\sin(t),\,y=\cos(t)$:
$$-xy(x-y)=xy(y-x)=\sin(t)\cos(t)\left(\cos(t)-\sin(t)\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t\right)\sin \left(\frac{\pi }{4}\pm t\right).$$
Но обобщить такой подход никак не получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение16.02.2018, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
645
Арктика
Можете попробовать сферические координаты $x=\sin{\theta}\cos{\varphi}$, $y=\sin{\theta}\sin{\varphi}$, $z=\cos{\theta}$
Правда, сомневаюсь, что это школьное.. если только догадаться по аналогии с окружностью.

Здесь $0\leqslant{\theta}\leqslant\pi$, $0\leqslant\varphi<2\pi$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group