Ну вот вполне деццкое, как мне кажется, д-во.
Ясно, что из трёх скобок две должны быть отрицательны и одна положительна. В том смысле, что достаточно рассматривать только этот случай. Для определённости считаем, что

и

, т.е. что

.
При фиксированных игреках и зетах произведение скобок, т.е., собственно, произведение

, максимально в вершине школьной параболы относительно икса. Т.е. в точке

, где это произведение есть

.
А теперь смотрим: когда разность между игреками и зетами может быть максимальной -- при условии, что

?...
Ясно, что при

. А вот дальше -- уже вопрос, как оформлять. Я бы тупо сослался на то, что при фиксированных иксах игреки и зеты суть координаты точки на окружности радиуса

. И что через синусы с косинусами очевидно, что икс должен быть равен именно нулю, а игреки и зеты одинаковы по величине и противоположны по знаку, т.е.

, скажем.
Ч.т.д.