Независимые события

[ellipse]

Пусть $\Omega = [0,1]$ -- множество элементарных исходов, $A=[0,\tfrac12]$, $B=[\tfrac14, \tfrac34]$, $C=[\tfrac13, \tfrac56]$ -- события. Вероятность геометрическая. Верно ли, что события $A$ и $B$ независимые, а $A$ и $C$ зависимые?

По формулам вроде все так, но я не могу уловить, в чем наглядный геометрический смысл независимости. Правильно ли я понимаю, что суть в том, что доля $A$ в $\Omega$ равна доле $A\cap B$ в $B$:

$$\frac{P(A)}{P(\Omega )}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

И еще вопросы для самоконтроля.
Невозможное событие всегда независимо с любым?
Несовместные события с ненулевой вероятностью не могут быть независимы?

[mihaild]

ellipse в сообщении #1292252 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что суть в том, что доля $A$ в $\Omega$ равна доле $A\cap B$ в $B$:

Да, т.к. $B$ имеет ненулевую вероятность (а $\Omega$ - единичную). Но лучше всё же обходиться без деления, чтобы не было проблем с событиями нулевой вероятности.

ellipse в сообщении #1292252 писал(а):

Невозможное событие всегда независимо с любым?
Несовместные события с ненулевой вероятностью не могут быть независимы?

А на каком этапе при расписывании по определению возникает проблема?

[SomePupil]

ellipse, геометрический смысл, лучше предложенного Вами, не найти. БОльшую наглядность, имхо, имеет только смысл независимости в контексте условных вероятностей.