2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 интегрирование
Сообщение13.02.2018, 14:37 


14/06/12
93
Подскажите, пожалуйста, как вычислить интеграл $\displaystyle\int\limits_0^1\frac{\left(t-t^2\right)\ln\left(a\cdot t+b\right)}{c\cdot t+d}$?
Кроме того, что можно подынтегральное выражение разложить в ряд: $\displaystyle\frac{t-t^2}{d}\left[\ln\left(b\right)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\left(-1\right)^{n+1}a^nt^n}{nb^n}\right)\right]\left[1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\left(-1\right)^{n}c^nt^n}{d^n}\right)\right]$, потом использовать правило перемножения рядов и т. д., я ничего не придумал :-(.
Может быть есть более простой путь или готовое решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: интегрирование
Сообщение13.02.2018, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
А оно берется? Думаю, что надо свести к интегральному логарифму и так и оставить. Может, рассмотреть частные случаи, например, $a=b=c=d=1$

-- 13.02.2018, 16:59 --

Если $c=0$ или $d=0$, то по частям. В ином случае дифференцирование по $a$ позволяет избавиться от логарифма и далее посчитать интеграл от дроби, но тут опять же надо смотреть разные случаи, при каких-то значениях параметров интеграл может стать несобственным..

 Профиль  
                  
 
 Re: интегрирование
Сообщение13.02.2018, 15:24 
Заслуженный участник


25/02/11
1800
Математика при условиях, что все параметры положительны и $bc<ad$ выдает
$$
\begin{equation*}
\begin{split}
&\frac1{4 a^2 c^3}\biggl[{4 a^2 d (c+d) \left(\text{Li}_2\left(\frac{b c}{b c-a
   d}\right)-\text{Li}_2\left(-\frac{(a+b) c}{a d-b c}\right)\right)+\\
&+a \left(-c (3 a c+4 a
   d+2 b c)+4 a d \log (b) (c+d) \log \left(\frac{a d}{a d-b c}\right)+\\
&+2 a \log (a+b) \left(c
   (c+2 d)-2 d (c+d) \log \left(\frac{a (c+d)}{a d-b c}\right)\right)\right)-2 b c \log
   \left(\frac{b}{a+b}\right) (2 a (c+d)+b c)}\biggr]
\end{split}
\end{equation*}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: интегрирование
Сообщение13.02.2018, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика

(Оффтоп)

Как ТС и просил :P
van341 в сообщении #1292244 писал(а):
или готовое решение?


Откуда берутся задачи с такой кучей параметров.. или специально с целью одним примером охватить все на свете..

-- 13.02.2018, 17:55 --

Еще берется по частям при $c=\pm{\alpha}$ и $d=\mp{\alpha}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group