интегрирование

[van341]

Подскажите, пожалуйста, как вычислить интеграл $\displaystyle\int\limits_0^1\frac{\left(t-t^2\right)\ln\left(a\cdot t+b\right)}{c\cdot t+d}$?
Кроме того, что можно подынтегральное выражение разложить в ряд: $\displaystyle\frac{t-t^2}{d}\left[\ln\left(b\right)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\left(-1\right)^{n+1}a^nt^n}{nb^n}\right)\right]\left[1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\left(-1\right)^{n}c^nt^n}{d^n}\right)\right]$, потом использовать правило перемножения рядов и т. д., я ничего не придумал .
Может быть есть более простой путь или готовое решение?

[thething]

А оно берется? Думаю, что надо свести к интегральному логарифму и так и оставить. Может, рассмотреть частные случаи, например, $a=b=c=d=1$

-- 13.02.2018, 16:59 --

Если $c=0$ или $d=0$, то по частям. В ином случае дифференцирование по $a$ позволяет избавиться от логарифма и далее посчитать интеграл от дроби, но тут опять же надо смотреть разные случаи, при каких-то значениях параметров интеграл может стать несобственным..

[Vince Diesel]

Математика при условиях, что все параметры положительны и $bc<ad$ выдает

$$ \begin{equation*} \begin{split} &\frac1{4 a^2 c^3}\biggl[{4 a^2 d (c+d) \left(\text{Li}_2\left(\frac{b c}{b c-a d}\right)-\text{Li}_2\left(-\frac{(a+b) c}{a d-b c}\right)\right)+\\ &+a \left(-c (3 a c+4 a d+2 b c)+4 a d \log (b) (c+d) \log \left(\frac{a d}{a d-b c}\right)+\\ &+2 a \log (a+b) \left(c (c+2 d)-2 d (c+d) \log \left(\frac{a (c+d)}{a d-b c}\right)\right)\right)-2 b c \log \left(\frac{b}{a+b}\right) (2 a (c+d)+b c)}\biggr] \end{split} \end{equation*} $$

[thething]

(Оффтоп)

Как ТС и просил

van341 в сообщении #1292244 писал(а):

или готовое решение?

Откуда берутся задачи с такой кучей параметров.. или специально с целью одним примером охватить все на свете..

-- 13.02.2018, 17:55 --

Еще берется по частям при $c=\pm{\alpha}$ и $d=\mp{\alpha}$