Произведение в Категории периодических абелевых групп.

[Ribin]

Группа $G$ называется периодической, если $\forall x \in G\ \exists n\in \mathbb{N}: x^n = e$. Требуется доказать, что в категории периодических абелевых групп существует произведение.
Конечные произведения по обычной конструкции для абелевых групп существуют так как они остаются периодическими, а вот бесконечные произведения по обычной конструкции могут уже не быть периодическими, значит в этом случае надо что-то менять. Хотелось работать с прямыми суммами, но мне сказали, что периодические абелевы группы не всегда являются прямыми суммами циклических.

[vpb]

А что Вы еще думаете по поводу этой задачи сами? Можете привести собственные попытки решения (кроме очевидного замечания, что бесконечное произведение периодических групп не обязано быть периодическим), или еще какие-то результаты мыслительной деятельности? Тут по правилам форума нельзя помещать готовые решения простых задач.

[vpb]

Пожалуй, я все-таки расскажу решение, рискуя навлечь недовольство модераторов. Возьмите полное прямое произведение семейства, и рассмотрите в нем подгруппу всех элементов конечного порядка. Докажите, что это и есть то, что нужно (если я сам не ошибся).

[Ribin]

Видимо так:
Рассмотрим подгруппу в обычном произведении групп \displaystyle \prod_{i \in I} A_{i}, состоящую из элементов конечного порядка. Обозначим её как $P$. Определим $f_{i} : P \to A_{i}$ как ограничение проекции на $i-$ую координату: $f_{i} = p_{i}|_{P}$. Тогда для любого объекта $B$ из нашей категории и семейства морфизмов $\lbrace g_{i} \rbrace_{i \in I}$. Имеем единственное $h: B \to P$ такое, что $f_{i} \circ h = g_{i}$, а именно $h(b) = (g_{i}(b))_{i \in I}$. Он действительно принадлежит $P$ т.к. его порядок делит порядок элемента $b$...

Что-то я не стал сначала даже смотреть что происходит при отображении в прямое произведение, раз оно не подходит, а сразу кинулся на неприличные комбинации прямых сумм $A_{i}$.

[vpb]

Да, всё правильно.