Первый интеграл поля X на R^n

[scwec]

Пусть $X,Y$ два гладких векторных поля на $\mathbb{R}^n{(x)}$ независимые во всех точках $\mathbb{R}^n$ (или в некоторой области, где эти поля рассматриваются)
такие, что $\operatorname{div}(X)=0$, коммутатор $[X,Y]=v(x)X$ и функции $v(x)$ и $\operatorname{div(Y)}$ функционально независимы во всех точках $\mathbb{R}^n$ (или в некоторой области, где эти поля рассматриваются).
1. Найдите первый интеграл поля $X$.
2. Докажите, что поле $X$ при $n=3$ интегрируется в квадратурах.
Для справки: для поля $Z$ функция $\operatorname{div}(Z)=\Sigma\frac{\partial{Z^i}}{\partial{x^i}}$

[svv]

1. Я сначала вывел формулу
$\operatorname{div}[X, Y]=X(\operatorname{div}Y)- Y(\operatorname{div}X)$
Левая часть равна $\operatorname{div}(vX)=Xv+v\operatorname{div}X=Xv$.
Правая часть равна $X(\operatorname{div}Y)$.
Получается, что $X(\operatorname{div}Y-v)=0$.
$d(\operatorname{div}Y-v)\neq 0$ в силу функциональной независимости $\operatorname{div}Y$ и $v$.
Тогда $\operatorname{div}Y-v$ первый интеграл поля $X$.

[scwec]

1. Все верно.
Остается 2.

[pogulyat_vyshel]

ну после уже написанного про 2) и спрашивать как-то неудобно. Стандартный же факт

[svv]

Если интересно, что там получится конкретно, то: последний множитель Якоби равен $1$. Пусть $\varphi=v-\operatorname{div}Y$ (уже найденный первый интеграл), тогда (например) ограничение формы
$\dfrac{X^1 dx^2-X^2 dx^1}{\frac{\partial \varphi}{\partial x^3}}$
на поверхность $\varphi=\operatorname{const}$ будет полным дифференциалом. Может, можно и красивее что-то написать.

[pogulyat_vyshel]

Последний множитель -- звучит очень тоскливо ;( Это называется плотность инвариантной меры на современном языке

[scwec]

pogulyat_vyshel в сообщении #1291852 писал(а):

Стандартный же факт

Был уверен в появлении такого замечания. Конечно, стандартный.
Вообще, первый интеграл имеется, если поле $X$ сохраняет некоторую n - форму, только условие независимости двух функций меняется (не $v(x)$ и $\operatorname{div}Y$, а $v(x)$ и ?).