2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Первый интеграл поля X на R^n
Сообщение10.02.2018, 22:31 
Заслуженный участник


17/09/10
1799
Пусть $X,Y$ два гладких векторных поля на $\mathbb{R}^n{(x)}$ независимые во всех точках $\mathbb{R}^n$ (или в некоторой области, где эти поля рассматриваются)
такие, что $\operatorname{div}(X)=0$, коммутатор $[X,Y]=v(x)X$ и функции $v(x)$ и $\operatorname{div(Y)}$ функционально независимы во всех точках $\mathbb{R}^n$ (или в некоторой области, где эти поля рассматриваются).
1. Найдите первый интеграл поля $X$.
2. Докажите, что поле $X$ при $n=3$ интегрируется в квадратурах.
Для справки: для поля $Z$ функция $\operatorname{div}(Z)=\Sigma\frac{\partial{Z^i}}{\partial{x^i}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый интеграл поля X на R^n
Сообщение11.02.2018, 00:49 
Заслуженный участник


23/07/08
7669
Харьков
1. Я сначала вывел формулу
$\operatorname{div}[X, Y]=X(\operatorname{div}Y)- Y(\operatorname{div}X)$
Левая часть равна $\operatorname{div}(vX)=Xv+v\operatorname{div}X=Xv$.
Правая часть равна $X(\operatorname{div}Y)$.
Получается, что $X(\operatorname{div}Y-v)=0$.
$d(\operatorname{div}Y-v)\neq 0$ в силу функциональной независимости $\operatorname{div}Y$ и $v$.
Тогда $\operatorname{div}Y-v$ первый интеграл поля $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый интеграл поля X на R^n
Сообщение11.02.2018, 01:14 
Заслуженный участник


17/09/10
1799
1. Все верно.
Остается 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый интеграл поля X на R^n
Сообщение11.02.2018, 19:09 
Аватара пользователя


31/08/17
10/04/19
1366
ну после уже написанного про 2) и спрашивать как-то неудобно. Стандартный же факт

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый интеграл поля X на R^n
Сообщение11.02.2018, 19:50 
Заслуженный участник


23/07/08
7669
Харьков
Если интересно, что там получится конкретно, то: последний множитель Якоби равен $1$. Пусть $\varphi=v-\operatorname{div}Y$ (уже найденный первый интеграл), тогда (например) ограничение формы
$\dfrac{X^1 dx^2-X^2 dx^1}{\frac{\partial \varphi}{\partial x^3}}$
на поверхность $\varphi=\operatorname{const}$ будет полным дифференциалом. Может, можно и красивее что-то написать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый интеграл поля X на R^n
Сообщение11.02.2018, 19:54 
Аватара пользователя


31/08/17
10/04/19
1366
Последний множитель -- звучит очень тоскливо ;( Это называется плотность инвариантной меры на современном языке

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый интеграл поля X на R^n
Сообщение11.02.2018, 22:14 
Заслуженный участник


17/09/10
1799
pogulyat_vyshel в сообщении #1291852 писал(а):
Стандартный же факт

Был уверен в появлении такого замечания. Конечно, стандартный.
Вообще, первый интеграл имеется, если поле $X$ сохраняет некоторую n - форму, только условие независимости двух функций меняется (не $v(x)$ и $\operatorname{div}Y$, а $v(x)$ и ?).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group