Хочу быть математиком.

[anokata]

eugensk в сообщении #1290255 писал(а):

Очень рекомендую главу 1 из Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. 1974.
Проработаете весь текст и все задачи, и будете чувствовать себя гораздо увереннее.
Взять можно здесь, например: http://nashol.com/2011030353644/lekcii-i-zadachi-po-elementarnoi-matematike-boltyanskii-v-g-sidorov-u-v-shabunin-m-i.html

Благодарю! То что надо. Обязательно займусь.

[eugensk]

Вот еще задачник, чтобы наработать матграмотность (делайте всё подряд, без пропусков, там нет однотипных задач):

Алгебра и начала анализа, Задачи и решения, Башмаков М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М., 2004
Вы его легко найдете.

[vpb]

anokata в сообщении #1290200 писал(а):

Вот читаю (самое начало "Основы теории чисел" Виноградова). И уже во втором параграфе в пункте b.2 "Если a=bq+c то совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и с;" Так вот в первый раз мне потребовался час чтобы понять, что тут идёт речь о равенстве множеств. Вспомнив аксиому экстенсиональности я кажется смог
развернуть доказательство до доказательств двух включений множеств (и в итоге до двух импликаций

Тяжелое впечатление. Мне придется выразиться резко: у Вас мозги забиты и запакощены якобы "математической логикой".
Я бы выразился еще более грубо, но правила форума это запрещают.

Математики не пользуются "математической логикой", они пользуются логикой обычной. Точнее, матлогика возникает, но очень изредка и по очень специальным поводам. Если у Вас слишком большое желание попользоваться "матлогикой" возникает --- это, скажем так, нездорово и ненормально, и это, вероятно, проявление проблем с обычной логикой. Книжку Шихановича вообще закройте и больше не открывайте.


eugensk, не хочу Вас лично задеть, но я уверен, что Вы не математик, и в силу этого вероятность того, что Ваши советы окажутся действительно хорошими, не очень велика (но, справедливости ради, не равна нулю).

Приведу несколько простых задачек, полезных для развития обычного мышления. Первые несколько взяты из книжки Арнольда "Задачи для детей от 5 до 15 лет".

1) У Маши не хватило для покупки букваря 7 копеек, а у Миши 1 копейки. Они сложились, чтоб купить один букварь на двоих, но денег все равно не хватило. Сколько стоил букварь?

(Примечание (мое). Эта задача, я думаю, полуторавековой давности, если не больше. Тогда был совсем другой масштаб цен. Кроме того, копейка не была наименьшей монетой. Существовала еще полушка, т.е. полкопейки. Это же надо учитывать и в следующей задаче).

2) Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

3) Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько весит кирпич?

4) Из бочки вина перелили ложку его в (неполный) стакан с чаем. А потом такую же ложку смеси из стакана обратно в бочку. Теперь и в бочке, и в стакане имеется некоторый объем посторонней жидкости (вина в стакане, чая в бочке). Где объем посторонней жидкости больше, в стакане или в бочке?

5) Из А в В и из В в А на рассвете, одновременно, вышли навстречу друг другу, по одной дороге, две старушки. Ровно в полдень они встретились. Они встретились в полдень, но не остановились поболтать, а каждая продолжала идти с той же скоростью, и первая пришла в В в 4 часа дня, а вторая в А в 9 вечера. В котором часу был в этот день рассвет?

6) У Васи сестер на 2 больше, чем братьев. На сколько у Васиных родителей больше дочерей, чем сыновей?


Еще несколько задачек взяты из журнала "Квантик", (не путать с "Квант"), 2017, номер 9 (на сайте МЦНМО, mccme.ru, есть демонстрационная версия), из заочного конкурса.

7) Когда поезд идет из Москвы в Ярославль, буфет находится в 7-м вагоне с головы, а когда из Ярославля в Москву, то в 13-м. Сколько вагонов в этом поезде?

8) У Умного Кролика есть участок квадратной формы 8х8, состоящий из 64 одинаковых грядок 1х1. На некоторых грядках он выращивает капусту, а на остальных морковь (пустых грядок нет). Известно, что рядом с каждой капустной грядкой ровно две морковные, а рядом с каждой морковной --- две капустные (грядки считаются расположенными рядом, если они соседние по стороне). Может ли доля капустных грядок составлять (а) ровно половину, (б) более 60% от общего числа грядок?

9) Имеется 100 шариков, из которых два титановых, остальные нет. Титан-тестер умеет за одну проверку тестировать ровно два шарика. Если хотя бы один из двух шариков титановый, у тестера загорается лампочка, а иначе не горит. Как найти оба титановых шарика за 52 проверки?

И наконец, две совсем уж хрестоматийных задачи.

10) Имеется 9 одинаковых монет, из которых ровно одна фальшивая, легче настоящей, и чашечные весы без гирь. За 2 взвешивания найти фальшивую монету.

11) В комнате находятся 6 человек. Доказать, что среди них есть три попарно знакомых, или три попарно незнакомых.

[eugensk]

vpb в сообщении #1290329 писал(а):

eugensk, не хочу Вас лично задеть, но я уверен, что Вы не математик

Я больше репетитор, чем математик. Эти задачники я использую, и советую исходя из опыта.

[vpb]

eugensk в сообщении #1290334 писал(а):

Я больше репетитор, чем математик. Эти задачники я использую, и советую исходя из опыта

Я-то имел в виду прежде всего Ваш совет насчет Шихановича. Текст этот одуряющий. Что же до задачников, я их скачал, просмотрел. Подтверждаю, книжки хорошие, годные. Особенно Башмаков. Правда, полного мнения о том, как именно их следует использовать, пока не составил. Во всяком случае, упёрто решать абсолютно всё, ничего не пропуская, неразумно, так как это способ в некоторый момент застрять, упершись лбом в стену.

[anokata]

Попробую решить несколько...
1) Если бы им в сумме хватало то им бы хватило на два букваря, и один букварь стоил бы 8 копеек. Но это не так, а значит букварь стоит меньше 8 копеек. (Вот не понимаю как я это понял, угадал просто. Можно предподожить что он стоит больше, например 9, тогда им бы точно хватало в сумме, опять же всеравно непонятно почему это так в общем случае. Зато понятно что тогда если бы он стоил ещё больше то уж точно так же бы хватало их суммы.) Но поскольку уж отрицательной цена быть не может(предположительно) а у Маши не хватало 7ми (предподжим что она не имела долгов) то и менее 7ми он стоить не может. Проверим вариант для цены в 7коп. У Маши 0коп + у Миши 6коп = 6коп, не хватает(вообще сколько таких Маш не складывай то на букварь не хватит, значит Маши бесполезны), это сходится, но на два букваря им должно не хватать 8коп, так и есть 6+8=7*2. Хотя есть второй вариант, цена в 7.5коп, у Маши тогда полкопейки а у Миши 6.5. Да и вообще, похоже, он может стоить в интервале [7;8)

2) Тут не вижу сложностей - два условия, тут же соствляется система двух уравнений с двумя неизвестными.
Ответ: бутылка 9.5к пробка 0.5к (Эту задачу уже встречал)

3) Раз кирпич весит фунт + полкиприча, то киприч без половины кирпича весит фунт, то есть полкирпича весит фунт, то есть кирпич весит 2 фунта.
То есть $k = 1 + k/2 $
Откуда $ k - k/2 = 1 $
$k/2 = 1 $
и наконец $ k = 2$
(тоже встречал очень давно)

6) Обозначим количество сестер через $s$, братьев у Васи - $b$. Тогда $s-b = 2$. Далее, учитывая что Вася сам является сыном, то разница между количеством дочерей и сыновей будет s$ - (b + 1) = s - b - 1$. но $s-b = 2$. значит разница есть $2 - 1$ т.е. $ 1$.

№10 встречал не раз, и не факт что сам решил когда-то
А вот №5 выносит мозг.

[vpb]

2), 3), 6) правильно. В 1) написали что-то непонятное. Это потому, что спешили, или же Вы не спешили, а в самом деле не понимаете?

[anokata]

vpb в сообщении #1290408 писал(а):

2), 3), 6) правильно. В 1) написали что-то непонятное. Это потому, что спешили, или же Вы не спешили, а в самом деле не понимаете?

Похоже с 1ой непонимаю. Почему не может быть чтобы он стоил 7?

[vpb]

5) легко решается с помощью алгебры. Никакого выноса мозга в этом решении нет. Может быть, Арнольд имел в виду решение с помощью арифметики, как в 19 веке, но я такого решения не вижу.

-- 05.02.2018, 21:03 --

Насчет 1). Я перечитал то, что Вы написали. В принципе правильно, но весьма бессвязно. Попробуйте сейчас, не отходя от кассы, переписать более аккуратно. Не торопитесь.

[eugensk]

vpb в сообщении #1290403 писал(а):

Я-то имел в виду прежде всего Ваш совет насчет Шихановича.

Школьнику не посоветую, но взрослому, пережившему институтскую математику, почему бы не прочитать Шихановича?
Это не матлогика, а чуть более развернутый ликбез. Мне он не показался неподъёмным, и упражнения там очень полезные.

vpb в сообщении #1290403 писал(а):

Во всяком случае, упёрто решать абсолютно всё, ничего не пропуская, неразумно, так как это способ в некоторый момент застрять, упершись лбом в стену.

Можно пытаться решать подряд, и к нерешенным возвращаться позже. Когда проходишь всё, то нет сооблазна проскочить особо сложные или трудоемкие задачи.

[anokata]

У Маши = $m$ копеек. Значит букварь ($b$) стоит $ m + 7 = b$.
У Миши $n$ копеек, значит $n + 1 = b$.
Сложились и не хватает, т.е. $ m+n < b$
Сложим уравнения и получим $m + 7 + n + 1 = b + b $
Откуда $m + n + 8 = 2 b$. Поскольку $m+n < b$ то $m+n + \alpha = b$ причём $0 < \alpha < b $
Откуда $m+n = b - \alpha$. Подставим в ранее полученное вместо $m + n$.
Получим $b - \alpha + 8 = 2 b$
То есть $b = 8 - \alpha$
Значит букварь стоит не более 8 копеек.
Из того что $ m + 7 = b$ и $m \geqslant 0$ и $b \geqslant 0$ и $n \geqslant 0$ и особенно $m+n = b - \alpha$ ясно что $ \alpha \leqslant 1$
т.е. $b \in [7;8)$

В предпоследнем предложении я уже плохо соображаю, тут многое надо уточнять

[vpb]

Да, предпоследнее предложение неясно. А предыдущие вполне нормальны. Отметим, что мы считаем, что в обращении находятся лишь монеты, кратные копейке, и полушки.

[vpb]

Про книжку Шихановича. Прежде всего, anokata отнюдь не прошел университетский курс математики, а учился всего год, и то по программированию. Это к тому, что

eugensk в сообщении #1290421 писал(а):

взрослому, пережившему институтскую математику, почему бы не прочитать Шихановича?

Шиханович с самого начала начинает рассуждать о языке математики. А зачем разглагольствовать о языке перед людьми, которые и предмета-то, о котором речь, не знают? Ведь, допустим, дети сначала учатся говорить, а уж потом в школе, и то не в начальной, что-то теоретически изучают относительно языка. А если годовалому ребенку начать внушать грамматику, он, чего доброго, дебилом вырастет!

-- 06.02.2018, 01:07 --

eugensk в сообщении #1290421 писал(а):

Мне он не показался неподъёмным, и упражнения там очень полезные

Может быть, это мое личное мнение, а Вам Шиханович хорошо пошел. Я впервые эту книгу скачал и открыл месяца полтора назад, и у меня тут же создалось стойкое впечатление, что она пустая и бессодержательная, притом заумная. А книг-то и статей я в жизни немало прочитал, поэтому есть с чем сравнивать.

[anokata]

Итак, если $b \leqslant 8$ и возможны только значения только кратные $1$ и $1/2$ то есть несколько вариантов. Рассмотрим их.
Если $b = 8$, то $m = 1, n = 7$ но тогда их сумма $m + n = 8$, то есть им бы хватило.
Если $b = 7.5$, то $m = 0.5, n = 6.5$, тогда их сумма $m + n = 7 < 7.5$ что удовлетворяет условиям задачи.
Если $b = 7$, то $m = 0, n = 6$, тогда их сумма $m + n = 6 < 7$ что тоже удовлетворяет условиям задачи.
Если $b < 7 $, тогда $m < 0$ что можно считать недопустимым в рамках данной задачи.

-- 06.02.2018, 10:14 --

7) Поскольку голова с хвостом меняется местами на обратном пути, то можно считать что просто порядок счёта меняется. То есть поскольку с головы буфет $7$-ой, то обратно, с хвоста буфет $13$-ый. Но нужно учесть что складывая номера вагона мы посчитали буфет два раза - надо вычесть один, то есть всего $13 + 7 - 1 = 19$ вагонов.
Можно нарисовать прямую с точками и пронумеровать в двух направлениях и убедиться.
Ещё можно посчитать так, до буфета с одной стороны $6$ вагонов, с конца $12$, плюс сам вагон буфета.

[anokata]

10) Можно пытаться взвешивать только на равенство двух кучек монет. Причем имеет смысл сравнивать равное количество монет. А таких вариантов только: по 1, по 2, по 3, по 4.
Рассмотрим все варианты, с учётом наихуджего сценария чтобы найти тот вариант который гарантированно найдёт фальшивую во всех возможных раскладах.
Если взвешивать по 1, то за 2 взвешивания проверится только 4, и этого точно не хватит.
Если взвешивать по 2, то за 2 взвешивания проверится 8 (4 пары по две) и может оказаться что что какая то пара легче. Причём если вторая, то уже будет не узнать какая точно монета.
Если взвешивать по 4, то в худшем случае, после первого взвешивания останется 4 монеты в которых есть фальшивая. Тогда за одно взвешивание среди них не найти фальшивую.
Если же взвешивать по 3, то если при первом взвешивании найдётся пара легче другой, то в ней 3 монеты и за одно взвешивание одной пары по одной монете из этих трех (одна остаётся) либо обнаружится фальшивая, либо они окажутся равны и фальшивая - оставшаяся. В худшем же случае, после взвешивания пары по 3 монеты, останется ещё 3 монеты, и за одно взвешивание можно обнаружить фальшивую аналогично описанному ранее. Поэтому надо взвешивать пары троек описанным алгоритмом.

-- 06.02.2018, 12:11 --

9) Разложить 100 шариков попарно, получится 50 пар. Проверить каждую пару. В итоге найдётся либо одна пара, значит оба шарика - титаноыве. Либо две пары. Тогда поменяв элементы пар шариков местами, так чтобы получились новые пары и протестировав, максимум ещё 2 раза, обнаружим пару в которой оба шарика - титановые.

11) Составим все возможные пары. Порядок не важен, повторений быть не может (человек сам себе не пара), значит действуем так. Для первого элемента пары можно взять одного из 6ти человек, для второго остается 5 возможностей.
Значит всего пар из 6 человек будет ровно $6\cdot 5 = 30$.
Нас же интересуют тройки пар. А значит достаточно рассмотреть их возможные состояния (знакомая пара, незнакомая).
Тогда нам неважно из кого пары, а только их состояние. Тогда, поскольку каждая из 3х пар может быть в двух состояниях, то всего возможных вариантов тогда $2^3 = 8$.
Значит можно перебором, рассмотреть все возможные варианты. (причём симметрично).
Итак.
1. Если бы все были знакомы или незнакомы то и попарно бы это было верно, то есть были бы три пары.
2. Если бы была одна пара знакома(незнакома) то осталось бы две пары незнакомых(знакомых).
Внутри этих двух пар, первые члены этих пар, могут быть либо знакомы либо незнакомы. (всего 4 варианта, но опять же симметричные, т.е. всего 2 надо рассмотреть). В случае если они попарно знакомы, то в сумме с первой парой их будет 3. Если они попарно незнакомы, то в сумме с предыдущими парами их будет четыре. Если же одна из пар знакомы, то другая пара незнакома и вместе с рассмотренными незнакомыми парами их будет три. Других вариантов нет.