Символы Кристоффеля на сфере(без метрики)

[Sicker]

Ascold
Тут все просто, при переносе вдоль меридианов с вектором ничего не происходит, угол остается тем же.
При переносе вдоль широты вектор начинает поворачиваться (определите в какую сторону), и чтобы найти скорость поворота в зависимости от пройденного расстояния, на окружности параллели постройте вверх конус, касательная к основанию которого(а основание это окружность параллели) совпадает с касательной на сфере к этой параллели. А конус чудесным образом можно развернуть на плоскость, и посмотреть с какой скоростью поворачивается наш вектор.

-- 03.02.2018, 17:09 --

P.S. Я так понял, что без метрики Шульц имеет ввиду не использовать ту громоздкую формулу вычисления символов Кристофелля через метрический тензор

[svv]

Sicker в сообщении #1289781 писал(а):

P.S. Я так понял, что без метрики Шульц имеет ввиду не использовать ту громоздкую формулу вычисления символов Кристофелля через метрический тензор

Да, только в этом смысле, потому что вообще без метрики здесь не получится.

(Оффтоп)

Шульц Шутц. Мы его любим!

[Ascold]

epros в сообщении #1289690 писал(а):

Ascold в сообщении #1289565 писал(а):

1. Паралл. перенос определён как неизменяемость длины и сохранение касательности вектора.

Неизменяемость длины - это упомянутая выше согласованность с метрикой. Сохранение касательности пространству вообще не является чем-то новым, ибо рассматриваются обычно только касательные вектора и никакие иные.

Но этих двух условий недостаточно. Нужно ещё потребовать симметричности связности. Если связность согласована с метрикой и симметрична, то при переносе вектора вдоль прямой (геодезической) его угол относительно этой прямой сохраняется.

На сфере дуга большой окружности является геодезической, т.е. линией минимального расстояния между точками. Поэтому при переносе вдоль неё угол вектора по отношению к ней не меняется. Если же линия отклоняется от геодезической (т.е. является кривой), то при переносе вдоль неё вектор соответствующим образом поворачивается относительно линии переноса.

У меня путаются мысли - про геодезические я кратко читал когда-то во 2 томе Ландау, Шутц же в главе перед обсуждаемой задачей этого понятия ещё не ввёл, как и о симметричности связности речи не было, видимо, нужно решать задачу без этих понятий, как-то интуитивно догадавшись до правила параллельного переноса в этой ситуации.
Так всё же - что такое параллельный перенос на сфере? Касательный вектор к большой дуге договорились, вроде как, параллельно переносить, чтоб он оставался касательным к этой дуге. Параллельный перенос - это будет "по определению" перенос вдоль большой дуги, к которой вектор всё кремя касателен? Но тогда перенос вдоль других дуг можно определить лишь на бесконечно малое расстояние, так что ли? Но Вы пишете, как я понимаю, не о бесконечно малом смещении вдоль ближайшей большой дуги, так ведь:

Цитата:

Чтобы продемонстрировать, что направленный по меридиану вектор после переноса вдоль параллели перестаёт быть направленным по меридиану, параллель желательно выбирать подальше от экватора.

Мне же кажется, что касательный к меридиану вектор после переноса вдоль параллели будет направлен по меридиану, поскольку при переносе(если вдоль параллели несём, а не вдоль большой дуги) касательный к меридиану вектор всё время лежит под одним углом к плоскости параллели, а все меридианы ей перпендикулярны.

Sicker в сообщении #1289781 писал(а):

Ascold
Тут все просто, при переносе вдоль меридианов с вектором ничего не происходит, угол остается тем же.
При переносе вдоль широты вектор начинает поворачиваться (определите в какую сторону), и чтобы найти скорость поворота в зависимости от пройденного расстояния, на окружности параллели постройте вверх конус, касательная к основанию которого(а основание это окружность параллели) совпадает с касательной на сфере к этой параллели. А конус чудесным образом можно развернуть на плоскость, и посмотреть с какой скоростью поворачивается наш вектор.

-- 03.02.2018, 17:09 --

Итак, я не понимаю, значит, параллельный перенос вдоль параллели: мне казалось, что перенос $\textbf{e}_\theta$ вдоль неё - это такое движение вектора, что угол между ним и параллелью всё время постоянен(90градусов). А что всё-таки имеется ввиду на самом деле?

[epros]

Ascold в сообщении #1289830 писал(а):

Мне же кажется, что касательный к меридиану вектор после переноса вдоль параллели будет направлен по меридиану, поскольку при переносе(если вдоль параллели несём, а не вдоль большой дуги) касательный к меридиану вектор всё время лежит в плоскости параллели, а все меридианы ей перпендикулярны.

Как сказал Sicker, Вы можете легко убедиться в том, что это не так, если вырежете узкую полоску сферы вдоль параллели и разложите её на плоскости. После этого Вы сразу увидите, что параллель не является прямой линией. А при параллельном переносе вектора вдоль кривой линии угол между вектором и этой линией изменяется.

Ascold в сообщении #1289830 писал(а):

я не понимаю, значит, параллельный перенос вдоль параллели: мне казалось, что перенос $\textbf{e}_\theta$ вдоль неё - это такое движение вектора, что угол между ним и параллелью всё время постоянен(90градусов). А что всё-таки имеется ввиду на самом деле?

А параллельный перенос вектора вдоль окружности (в плоскости) Вы понимаете? Понимаете почему угол между вектором и окружностью изменяется? Так вот, это то же самое.

[svv]

Ascold в сообщении #1289830 писал(а):

Итак, я не понимаю, значит, параллельный перенос вдоль параллели: мне казалось, что перенос $\textbf{e}_\theta$ вдоль неё - это такое движение вектора, что угол между ним и параллелью всё время постоянен(90градусов).

А если эта параллель будет окружностью радиусом 10 метров вблизи Северного полюса Земли, такой перенос естественно будет назвать «параллельный»?
К тому же, здесь будет явная зависимость результата от координатной сетки.

Ascold в сообщении #1289830 писал(а):

А что всё-таки имеется ввиду на самом деле?

Попробуйте перечитать конец этого сообщения (один или два абзаца). На этом подходе можно построить достаточно простое решение задачи, я собирался было его описать.

[Erleker]

Ascold
Не вникал в сообщения, но вообще, лично мне с самими понятиями связности и геодезической помогла разобраться книга Новикова-Тайманова. Там по определениям все четко изложено и вместе с этим книга, можно сказать, "для физиков".

[Ascold]

svv в сообщении #1289841 писал(а):

А если эта параллель будет окружностью радиусом 10 метров вблизи Северного полюса Земли, такой перенос естественно будет назвать «параллельный»?
К тому же, здесь будет явная зависимость результата от координатной сетки.

Ascold в сообщении #1289830 писал(а):

А что всё-таки имеется ввиду на самом деле?

Попробуйте перечитать конец этого сообщения (один или два абзаца). На этом подходе можно построить достаточно простое решение задачи, я собирался было его описать.

По поводу переноса вдоль параллели, кажется, понял - мы тащим вектор именно так, чтобы он оставался параллельным самому себе почти в привычном(плоском) смысле. Если ввести конус, как советовал Sicker, то получится, что на этом конусе переносимый вектор будет всё время "заваливаться" в направлении переноса и, таким образом, его компоненты будут меняться.
Мне пока из этих соображений сложно понять, почему и это параллельный перенос, и перенос вдоль большой дуги(геодезической) с сохранением угла между вектором и дугой - такой же параллельный перенос, ведь на первый взгляд разными способами переносим.
Сообщение http://dxdy.ru/post1288699.html#p1288699 перечитал. Как я понимаю, svv предлагает вложить сферу в евклидово трёхмерное пространство, взять там сферические координаты, прописать условие параллельного переноса в общем виде, определить 27(точнее, 18) символов Кристоффеля, а затем "вернуться" в касательное пространство сферы таким способом:

Цитата:

Раз так, модифицируем перенос следующим образом. Пусть $\lambda$ — параметр кривой $\gamma$, причём $\gamma(0)=A$. Возьмём в каждой точке кривой такой касательный к сфере вектор $\mathbf v(\lambda)$, чтобы $\mathbf v(0)$ совпадал с $\mathbf u$, а вектор производной $\nabla_{\frac d{d\lambda}}\mathbf v(\lambda)$ был всюду перпендикулярен к сфере. Здесь $\nabla$ — операция ковариантного дифференцирования в евклидовом пространстве; она определена, и мы на неё опираемся. Образно говоря, будем при переносе всё время так «пригибать» вектор к сфере, чтобы он оставался к ней касательным.

Правильно я понимаю, что технически это будет выглядеть так:

$$\mathbf v(\lambda)\mathbf {\cdot e_r}=0,$$

$$\nabla_{\frac d{d\lambda}}\mathbf v(\lambda)\mathbf {\cdot e_\theta}=0,$$

$$\nabla_{\frac d{d\lambda}}\mathbf v(\lambda)\mathbf{\cdot e_\varphi}=0 \qquad - $$

доп. условия, которые изменят $\Gamma^i_{kl}$ надлежащим образом или же нет, поскольку ковариантная производная вектора по вектору - это не вектор?

Erleker в сообщении #1289845 писал(а):

Ascold
Не вникал в сообщения, но вообще, лично мне с самими понятиями связности и геодезической помогла разобраться книга Новикова-Тайманова. Там по определениям все четко изложено и вместе с этим книга, можно сказать, "для физиков".

Гляну. Книжка, конечно, впечатляет числом страниц.

[svv]

Ascold в сообщении #1289898 писал(а):

По поводу переноса вдоль параллели, кажется, понял - мы тащим вектор именно так, чтобы он оставался параллельным самому себе почти в привычном(плоском) смысле.

Верно! Вот это слово «почти» показывает, что Вы правильно понимаете.

Представьте, что вся Земля — это суша. Я еду по параллели, не являющейся экватором, на машине. Чтобы я ехал не по большому кругу, руль приходится немного повернуть, скажем, влево (это особенно очевидно вблизи полюсов). Я везу в машине касательный вектор, который мне надо перевозить как можно параллельнее (предыдущему положению вектора, а не кривой, по которой я еду). В таком случае, вектор должен всё время чуть вращаться относительно машины. Если бы дело было на плоскости, вектор в результате действительно смотрел бы в одном направлении (независимо от формы кривой и направления движения машины). Но на сфере, когда я вернусь в исходную точку, вектор в исходную точку не вернётся — из-за кривизны.

Я сейчас вынужден прерваться, на остальные вопросы отвечу позже.

[Ascold]

А, понятно. Грубо говоря, в ситуации с машиной, вектор будет поворачиваться противоположно направлению поворота руля, ну и теперь ясно, зачем Шутц вводит в рассмотрение большую дугу, касающуюся параллели в "начальной" точке.

[svv]

Ascold в сообщении #1289947 писал(а):

вектор будет поворачиваться противоположно направлению поворота руля

Да.

Ascold в сообщении #1289898 писал(а):

Как я понимаю, svv предлагает вложить сферу в евклидово трёхмерное пространство, взять там сферические координаты

Да, всё так. Пусть у нас есть многообразие $M$, вложенное в евклидово пространство $E$. Обозначим ковариантную производную в $M$ через $\nabla$, а ковариантную производную в $E$ через $D$. Давайте найдём связь между ними, учитывая, что $\nabla$ определена только на $M$ и только для касательных к $M$ векторных полей.

(Тонкости)

В нашем простом подходе мы отождествляем $M$ с некоторым подмножеством $E$, а касательное пространство $T_P M$ в точке $P$ — с некоторым вполне определённым подпространством $T_P E$ (чтобы не произносить слов «отображение», «дифференциал отображения»). При необходимости всё можно записать более строго.

Как и раньше, возьмём на $M$ кривую $\gamma$, выберем на ней точку $P$ и посмотрим, что следует из правила: вектор $\mathbf v$ тогда считается перенесённым параллельно вдоль $\gamma$ в смысле $\nabla$ (то есть $\nabla_{\frac d {d\lambda}}\mathbf v=0$), когда

svv в сообщении #1288699 писал(а):

вектор производной $D_{\frac d{d\lambda}}\mathbf v(\lambda)$ ... всюду перпендикулярен к сфере.

Выберем в $T_PM$ базис $(\mathbf e_k)$ и, пользуясь этим правилом, параллельно перенесём в смысле $\nabla$ базисные векторы из $P$ вдоль $\gamma$ в обе стороны (в пределах некоторой окрестности $P$). Обозначим (давно пора) $\frac d{d\lambda}=\mathbf u$. Имеем:
$\nabla_{\mathbf u} \mathbf e_k=0\,,$
$D_{\mathbf u} \mathbf e_k=\mathbf n_k\,,$
где $\mathbf n_k$ — некоторые векторы, перпендикулярные к $M$ в точке $P$.

Теперь пусть $\mathbf v$ — произвольное касательное к $M$ векторное поле на $\gamma$. Разложим его по тем же базисным векторам:
$\mathbf v=v^k\mathbf e_k$
Найдём обе производные в точке $P$, учитывая, что $\nabla_{\mathbf u} v^k=D_{\mathbf u} v^k=\frac{dv^k}{d\lambda}$
$\nabla_{\mathbf u} \mathbf v=\mathbf e_k\nabla_{\mathbf u} v^k+v^k\nabla_{\mathbf u}\mathbf e_k=\mathbf e_k\frac{dv^k}{d\lambda}$
$D_{\mathbf u} \mathbf v=\mathbf e_k D_{\mathbf u} v^k+v^k D_{\mathbf u}\mathbf e_k=\mathbf e_k \frac{dv^k}{d\lambda}+v^k \mathbf n_k$
Значит,
$D_{\mathbf u} \mathbf v-\nabla_{\mathbf u} \mathbf v=v^k \mathbf n_k$

Заметим, что $\nabla_{\mathbf u} \mathbf v$ раскладывается по базису $(\mathbf e_k)$ и, следовательно, лежит в $T_P M$. Производная же $D_{\mathbf u} \mathbf v$ принадлежит $T_P E$ (см. выше оффтоп). Получаем правило:
$\nabla_{\mathbf u} \mathbf v$ — это ортогональная проекция $D_{\mathbf u} \mathbf v$ на $T_P M$

Это была общая теория. Многообразие $M$ не обязано быть сферой. Размерности $E$ и $M$ не обязаны быть $3$ и $2$, а их разность не обязательно равна $1$.

Перейдём к решению задачи.
Пусть $(\tilde x^m)$ — декартовы координаты в $E^3$, а $(x^i)$ — сферические. Воспользуемся упражнением (6.2) из Шутца:
$\Gamma^{k}_{ji}=\Lambda^{k}{}_{\tilde m} \Lambda^{\tilde p}{}_{i} \Lambda^{\tilde n}{}_{j} \tilde\Gamma^{m}_{np}+\Lambda^{k}{}_{\tilde m} \Lambda^{\tilde p}{}_{i} \nabla_{\tilde p} \Lambda^{\tilde m}{}_{j}$
В декартовой системе символы Кристоффеля равны нулю. Выразим коэффициенты $\Lambda$ через частные производные:
$\Gamma^k_{ji}=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^m} \frac{\partial \Lambda^{\tilde m}{}_{j}}{\partial \tilde x^p}\frac{\partial \tilde x^p}{\partial x^i}=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^m} \frac{\partial \Lambda^{\tilde m}{}_{j}}{\partial x^i}=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^m} \frac{\partial^2 \tilde x^m}{\partial x^i \partial x^j}$

Пусть индексы $i, j$ принимают значения из набора $\{\theta, \varphi\}$.
$D_{\mathbf e_i} \mathbf e_j=\Gamma^k_{ji} \mathbf e_k$, где $k\in\{r,\theta, \varphi\}$
Ортогональной проекцией будет
$\nabla_{\mathbf e_i} \mathbf e_j=\Gamma^k_{ji} \mathbf e_k$, где $k\in\{\theta, \varphi\}$
Отсюда видно, что $\Gamma^k_{ji}$, где $i, j, k\in \{\theta, \varphi\}$, одновременно являются символами Кристоффеля для сферических координат на сфере.

[Ascold]

Благодарю за подробное развёртывание Вашей идеи. Я повторил путь Шутца(с привычным направлением угла $\theta$ - результат всё равно получается такой же), а вот с расчётом Вашим методом $D_{\mathbf u} \mathbf v$ на $T_P M$

$$\Gamma^k_{ji}=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^m} \frac{\partial^2 \tilde x^m}{\partial x^i \partial x^j}$$

всё равно есть какая-то сложность. Найдём $\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}=\theta'_xx''_{\varphi\varphi}+\theta'_yy''_{\varphi\varphi}+\theta'_zz''_{\varphi\varphi}.$
$z=\cos\theta,$ $\theta=\arccos z,$ значит, $\theta'_x=\theta'_y=0.$ Также $z''_{\varphi\varphi}=0,$ поэтому получается $\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}=0\neq-\sin\theta\cos\theta$.
Насколько я понимаю, никаких доп. условий, накладывать не надо.

[svv]

Частные производные — коварная штука. Частная производная по какой-то переменной (из набора независимых) зависит от того, как определены остальные переменные, и определены ли вообще.

svv в сообщении #1290052 писал(а):

Пусть $(\tilde x^m)$ — декартовы координаты в $E^3$, а $(x^i)$ — сферические.

Здесь имелось в виду — честные сферические координаты $(r,\theta,\varphi)$ в $E^3$, а не $(\theta, \varphi)$ в $S^2$. В том же смысле они понимаются в в формуле $$\Gamma^k_{ji}=\frac{\partial x^k}{\partial \tilde x^m} \frac{\partial^2 \tilde x^m}{\partial x^i \partial x^j}$. Из них, отбрасывая лишние, получаем набор символов Кристоффеля для сферы.

Чтобы не тратить время на рутину, рекомендуется использовать какой-нибудь математический пакет либо сервис. Я пользовался Wolfram Alpha. Давайте сверимся:
$\begin{array}{ll}\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi}& \\[0.5ex]\theta=\arccos\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & \\[0.5ex]\theta'_{x}=\phantom{+}\frac 1 r \cos\theta \cos\varphi & x''_{\varphi\varphi}=-r\sin\theta\cos\varphi\\[0.5ex]\theta'_{y}=\phantom{+}\frac 1 r \cos\theta \sin\varphi & y''_{\varphi\varphi}=-r\sin\theta\sin\varphi\\[0.5ex]\theta'_{z}=-\frac 1 r \sin\theta & z''_{\varphi\varphi}=\phantom{+}0 \end{array}$

$\begin{array}{ll}\Gamma^{\varphi}_{\theta\varphi}& \\[0.5ex]\varphi=\arctg\frac{y}{x} & \\[0.5ex]\varphi'_{x}=-\frac 1 r \frac{\sin\varphi}{\sin\theta} & x''_{\theta\varphi}=-r\cos\theta\sin\varphi\\[0.5ex]\varphi'_{y}=\phantom{+}\frac 1 r \frac{\cos\varphi}{\sin\theta} & y''_{\theta\varphi}=\phantom{+}r\cos\theta\cos\varphi\\[0.5ex]\varphi'_{z}=\phantom{+}0 & z''_{\theta\varphi}=\phantom{+}0 \end{array}$

Так всё получается.

[Ascold]

svv в сообщении #1290428 писал(а):

Здесь имелось в виду — честные сферические координаты $(r,\theta,\varphi)$ в $E^3$, а не $(\theta, \varphi)$ в $S^2$.

Точно.

[svv]

Интересная задачка: возьмём в некоторой точке на сфере произвольный ненулевой касательный вектор и параллельно перенесём вдоль параллели. На какой угол повернётся вектор относительно исходного, когда мы возвратимся в исходную точку, совершив один оборот вокруг оси?

Результат зависит только от $\theta$. Ясно, что на экваторе и полюсах результирующий вектор совпадёт с исходным.

[Ascold]

Надо с помощью ков. производной выписать азимутальную добавку и как-то проинтегрировать, я думаю.

(Оффтоп)

Но это завтра, а то на Урале глубокая ночь.